les maths ca peut être une passion tu sais

dr-suggestions Posté le 26 juin 2005 à 14:00:18
j´ai trouvé cette définition du nombre réel :

Un nombre réel est une quantité qui a pour représentation décimale x = n + 0.d1d2d3..., où n est un entier, chaque di est un chiffre entre 0 et 9, et la séquence ne se termine pas par une infinité de 9.

donc 0.999... ne serait pas un réel ? lol
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La tu nous a donné une condition necessaure et suffisante sur le developpement decimal pour avoir l´unicité. Si on admet que 0.999999=1 alors il est aussi un reel

Mais voici une définition plus belle des reels
" l´ensemble des reels est l´ensemble des limites de suites convergentes a valeurs dans Q"
Q etant l´ensemble des rationnels
( ie R est l´adherence de Q)

la suite Un = somme de 1 a n des 9/10^k est une suite a valeur dans Q, qui converge, donc 0.9999... est un reel

or |Un -1| = 1/10^n qui, pour tout epsilon, a partir d´un certain rang blablabla...
donc Un converge aussi vers 1

par unicité de la limite, 1 = 0.999

Je comprends qu´en partie, mais je trouve l´ensemble bien convainquant !
Un autre exemple pour tenter de faire changer d´avis l´irréductible ?

Je crois très honnêtement, viouthay, que c´est peine perdue .

" l´ensemble des reels est l´ensemble des limites de suites convergentes a valeurs dans Q"
Pas tout à fait, pour pinailler sur les termes, cet ensemble serait plutôt Q...

non

l´ensemble des limites de suites convergentes a valeurs dans Q est R

par exemple ( 1+1/n)^n converge vers e

( 1+1/n)^n ne converge pas dans Q. Donc soit tu la considères dans R et donc, tu présupposes déjà l´existence de R et tu ne peux pas t´en servir pour définir R. Soit tu ne peux pas la voir comme une suite convergente, juste comme une suite de Cauchy.

j´ai dit convergente pour eviter de dire borné

donc l´ensemble des limites de suites bornées a valeur dans Q

c´est plus lourd, mais ptetre + rigoureu

on a du bon niveau sur ce topic, y´a eu divers démonstration, ma préféré et celle de la somme les termes de la suite etc

je suis d´accord, j´aime bien la dernière

" R est l´adherence de Q" c´est bien ça

jsens qu´on va bien s´amuser l´année prochaine en prépa

D´ailleurs ( bon j´ai pas lu le topic en long et en large ) je ne comprends pas bien pourquoi on ne peut pas parler de " limite " en l´infini du nombre de 9 car c´est implicite dans le nombre défini... ? Enfin je veux dire que la notation que j´ai donné à la page d´avant est fausse ( "lim(n->l´infini) 0.999...[n fois] ) mais c´est même pas l´idée ? Parce que dans la démo de Redsparks par exemple , y´a bien un moment où on passe à la limite . ... :

"
0,99999... = somme(n=1 à +oo, ( 9/10)^n)
= 9 * somme ( n=1 à +oo, ( 1/10)^n)
= 9 * lim ( n -> +oo, 1/10*(1-(1/10)^n)/(1-1/10)
= 9 *1/10*1/(9/10)=1 "

Si on considère le fait qu´entre deux réels on trouve toujours un autre réel et qu´ici ce n´est pas le cas entre 0 et 0.999... . ..

Alors 0.999... N´est pas un réel . .. ?

entre 0.999... et 1

0,9999... est déjà une limite puisqu´il y a une infinité de 9. Cette limite est contenue dans somme(n=1 à +oo, ( 9/10)^n)
= 9 * somme ( n=1 à +oo, ( 1/10)^n)
= 9 * lim ( n -> +oo, 1/10*(1-(1/10)^n)/(1-1/10)
Dans la démonstration ce sont des égalités vraies

si, t´a le droit de parler de lim en infini de 0.99999 ( n fois) puisque la suite converge ( croissante et majorée)

pour la premiere demo, sa march pa pck tu diviz par ( b-a) a 1 moman. tu pe pa pck sa fai 0

hazz : en fait bornée ne convient pas non plus. Si tu veux définir R de cette façon, tu peux dire que R est l´ensemble des suites de Cauchy rationnelles quotienté par la relation d´équivalence ( (Un)=(Vn) ssi ( Un-Vn) converge vers 0).
Bon après, c´est sûr que c´est trop compliqué pour un Terminale ( peut-être même pour un bac +2 ) et que ton explication donnait une compréhension plus intuitive de la chose...

Donc si j´ai bien compris par exemple
5.999....=6 puisque; même si ce n´est pas une démonstration; 18*1/3=18*0.333...

pier > oui

tantale > qu´est ce qui marche pas ds ma def ?

mais R n´est pas un ensemble de suites...