Il est bizzare, ce Old B...
Pour Naunau et son amour de l´harmonie ( je pense qu´il ferait un mari parfait)
Au bout de la première seconde, le ver a parcouru 1 cm et l´élastique mesure 1 km, soit 100 000 cm...
Au bout de la deuxième seconde, le ver a parcouru 2 cm et l´élastique mesure 2 km, soit 200 000 cm...
Généralisons :
le ver parcourt 1/100000 de l´élastique, puis 1/200000, puis 1/300000 etc...
il parcourt donc : 1/100 000 x ( 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . ........ + 1/n + . ...) de l´élastique
La série entre parenthèses est la série harmonique.
Comme chacun sait, cette série, bizarrement, est divergente.
Elle est donc aussi grande que l´on veut.
En particulier, il arrivera un moment où elle sera supérieure à 100 000.
A ce moment, le ver aura parcouru 100 000 / 100 000ème de l´élastique, et il sera donc arrivé au bout !
Cela arrivera bien à peu près à t + exp ( 100 000) secondes.... soit un sacré bout de temps quand même !
L´alongement de l´élastique se fait devant et derrière le ver.
En plus matheux ( je ne le fais pas exprès, c´est la fot´ à Nono)
Il faut calculer la distance qui lui reste à franchir
Ce qui revient aussi à chercher la limite de la suite précitée.
on peut s´en sortir en remplaçant U(n-1) par la formule puis U(n-2), U(n-3), . .. :
U(n) = ( n/n-1)xU(n-1) - 1 = ( n/n-1)x(n-1)/(n-2)xU(n-2) - n/n-1 - 1
= ( n/n-1)x(n-1)/(n-2)x(n-2/n-3)xU(n-3) - n/n-2 - n/n-1 - n/n
=...
= ( n/1)xU(1) - n(1/2 + 1/3 + . .. + 1/n)
= n(99 999 - somme des termes de la suite harmonique )
Ainsi, la distance sera nulle quand la somme fera 99 999 ce qui arrivera... au bout d´un certain temps !