La croix, c'est le double dièse. Comme t'as les doubles bémols.
En fait, c'est une histoire d'enharmonie. Un si dièse pour un violoniste par exemple ne sonne pas tout à fait comme un do, alors que sur un piano ça sera la même chose.
Mais je suppose que tu sais que le piano n'est pas accordé juste.
On note des notes doubles dièses ou les si#, mi# et compagnie souvent pour aider à comprendre le contexte. Par exemple, en do#, la sensible (note tendue de l'accord de dominante) sera le si#, parce que ça n'a pas de sens de dire que c'est un do bécarre.
J'espère me faire comprendre, c'est des notions de solfèges assez difficiles à comprendre quand on a pas les bases.