Ma 1ere question est un exercice classique des oraux de l´X ou des ENS. La correction n´est pas vraiment rédigeable sur un forum.
Mais on l´a pose bien de cette façon : on ne donne pas d´autres indications.
Ma 2ème question est en ce moment sur le point d´être résolu : c´est en fait la conjecture de Poincaré. Le mathématicien russe Grisha Perelman a proposé une preuve au M.I.T. en 2002. Sa démonstration est toujours en cours de vérification.
Si jamais tu trouves une démonstration de cette conjecture, tu gagnes 1 million de dollars.
En effet, la conjecture de Poincaré fait partie des quelques fameux problèmes de Hilbert dont leurs résolutions ont été mises à prix par l´Institut américaine Clay.