Géométrie des problèmes de multiplicité et équisingularité dans un idéal
Thèse présentée à l´Université de Provence pour obtenir le titre de docteur en mathématiques, 10 Juin 2002
Romain B.
La première partie de la thèse étudie la notion d´élément général d´un idéal m-primaire I dans l´anneau local d´une singularité de surface normale. Ceci généralise simultanément la notion de " section hyperplane générale" ( si I=m) et la notion connue pour les idéaux d´un anneau régulier. Cette notion est définie à partir de propriétés géométriques ( dans l´éclatement de I) et le résultat principal est une caractérisation numérique de ces éléments par le nombre de Milnor. On isole en particulier la propriété de v-superficialité des éléments généraux, qui est la plus délicate à montrer à partir de la propriété du nombre de Milnor. Les premiers chapitres constituent une étude géométrique des propriétés de superficialité et v-superficialité, ainsi que des propriétés fines de transmission de multiplicité ( dans des anneaux même non réduits). La seconde partie illustre comment appliquer les propriétés des familles de courbes sur une surface pour comprendre la résolution par éclatements normalisés. Dans ce processus de résolution on est ramené à l´étude des singularités minimales au sens de Kollar.