Bah ça dépend ce que tu veux savoir.
Tu veux savoir des choses à propos des équations et des puissances. A moins que tu veuille tout savoir de la fonction exponentielle je crois qu´on va séparer équations et puissances ;) .
Pour les puissances, si je ne m´abuses, tu va apprendre les règles de calculs.
J´utiliserai l´accent circonflexe pour écrire les puissances (2^3 pour 2 puissance 3). L´opération de puissance est prioritaire sur la multiplication et la division, pardonne moi si j´omets certaines parenthèses.
Allons y de manière rigoureuse, j´expliquerai après. Je te conseil pour comprendre d´écrire les équation sur du papier avec d´un peu meilleur notation que celles-ci.
Le produit de 2 nombres pouvant s´écrire respectivement sous les formes x^a et x^b (avec a et b deux entiers naturels) est x^(a+b).
Ce qui veut donc dire (x^a)*(x^b)=x^(a+b)
Démonstration (elle est toute conne) :
Soit a et b deux entiers naturels et x un réel.
Par définition de la puissance on a :
x^a=x*x*...*x avec a termes
x^b=x*x*...*x avec b termes
donc (x^a)*(x^b)=(x*x*...*x)*(x*x*...*x) avec a+b termes.
Donc par la définition de la puissance x^a*x^b=x^(a+b).
Attention cette démonstration ne fonctionne pas si a et b ne sont pas des entiers naturels même si la propriété, elle, est vraie.
Attention ça ne marche que si le nombre que tu élève aux puissances a et b est le même. 2^5*2^3=2^5+3=2^8 par contre avec 5^2*4^3 tu ne peux rien faire.
Il faut tout de même penser à vérifier si l´un de tes deux nombres n´est pas une puissance de l´autre on verra pourquoi par la suite.
Deuxième règle :
Soient a et b deux entiers naturels et x un réel le quotient de x^a par x^b est égale à x^(a-b).
(x^a)/(x^b)=x^(a-b)
La démonstration c´est la même que l´autre, tu fait un fraction, tu développe tes puissances en haut et en bas de la fraction, tu simplifie tout les x possible et il te reste bien a-b terme après simplification.
Il peut être utile de savoir qu´une puissance négative c´est l´inverse (1 qui divise le nombre) de la puissance positive associée. x^(-a)=1/(x^a)
Dernière propriété :
Soient a et b deux entiers naturels et x un réel si on élève le nombre x puissance a à la puissance de b celà revient à élever x à la puissance du produit de a et de b.
(x^a)^b = x^(a*b)
Démonstration (toujours un peu le même principe) :
Soit a et b deux entiers naturels et x un réel.
Par définition de la puissance on a :
x^a=x*x*...*x avec a termes
(x^a)^b=(x^a)*(x^a)*...*(x^a) avec b termes
donc (x^a)^b = (x*x*...*x)*(x*x*...*x)*...*(x*x*...*x) avec a*b termes
Donc par la définition de la puissance (x^a)^b = x^(a*b)
Ici on peut opérer un petit retour en arrière sur la première propriété.
Soit X = x^2 on veut calculer x^3*X^2. A priori on ne peut rien faire puisque x est différent de X mais dans ce cas on peut aussi écrire x^3*(x^2)^2 = x^3*x^(2*2) = x^3*x^4 = x^3+4 = x^7
Attention tu ne peut pas faire grand chose avec des sommes et des différences de puissances (peut être factoriser mais ça c´est pas à ton programme). Si ça t´intéresse en factorisant ça donne :
si a=b
x^a+x^b = x^a+x^a = 2x^a
si a<b
x^a+x^b = (x^a)(1+x^(b-a))
si a>n
x^a+x^b = (x^b)(x^(a-b)+1)
Factoriser te permet de résoudre plus facilement des équations en transformant par exemple des x^3 que tu ne sais pas résoudre en x^2 que... tu ne sais pas résoudre non plus ;)
Donc les équations maintenant (je ne connais pas les démonstrations des propriétés).
Soit l´équation x=y
Soit a un réel quelconque alors x+a=y+a
Soit b un réel quelconque alors x-b=y-b
Soit c un réel différent de 0 alors c*x=c*y (ça marche aussi si tu multiplie par 0 car 0=0 mais quand tu le fait il faut faire très attention car on ne peut plus revenir à l´équation d´origine. La multiplication par 0 est irréversible)
Soit d un réel différent de 0 alors x/d=y/d (là pas de division par 0 possible).
Il faut faire attention lorsque tu multiplie et que tu divise, c´est à l´ensemble de l´équation que tu effectue l´opération.
si tu as x+y=z tu ne peux pas dire que (a*x)+y=a*z. C´est faux. Par contre a*(x+y)=a*z.
Il faut aussi faire attention à ne pas mettre les égale à la suite et à bien sauter une ligne à chaque fois.
Si x=y alors x+a=y+a mais x n´est certainement pas égal à y+a.
Ces propriétés te permettent de résoudre quasiment toutes les équations du premier degré (c´est à dire qu´il n´y a pas de x qui se multiplient entre eux).
Par exemple x+7=8
Tu peux dire x+7-7=8-7 donc x=1
Si tu as 5(x+8)/15 = 2x.
Tu peux dire (5(x+8)/15)*15 = 2x*15
donc 5(x+8) = 30x
donc 5(x+8)/5 = 30x/5
donc x+8 = 6x
donc x+8-x = 6x-x
donc 8 = 5x
donc 5x/5 = 8/5
donc x = 8/5
P.S : j´espère que ça répond à tes attentes ;)
Si tu as des questions hésite pas. Ca correspond à au moins deux/trois mois de ton programme de math. Si tu gobe tout en une seule lecture c´est que tu es vachement fort ;)
(c) topik 2 kaliteé
Ba en même temps, un précheur-poivrot, ça me rappelle quelquechose .... Un certain nombre de curés par exemple.
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