La TRIGONOMETRIE
Les nombres complexes de module 1 peuvent être caractérisés comme les nombres complexes R 0 dont le conjugué et l’inverse sont égaux; on vérifie facilement qu’ils forment un groupe multiplicatif que nous désignerons par U. Les images des éléments de U sont les points du cercle de centre O et de rayon 1 ( appelé souvent «cercle trigonométrique»); l’application qui au nombre complexe u ª U, d’image M, fait correspondre l’angle A(u ) du demi-axe réel positif avec la demi-droite OM est un isomorphisme du groupe multiplicatif U sur le groupe additif des angles orientés de demi-droites et pourrait d’ailleurs servir à donner une définition rigoureuse de ces angles. L’étude du groupe U constitue ce qu’on appelle traditionnellement la trigonométrie ; l’outil pour définir de façon correcte les fonctions trigonométriques est la fonction exponentielle complexe.
Pour tout nombre réel t , le nombre complexe e it appartient à U. En effet, on voit facilement sur le développement en série de e z que le conjugué de e z est e z pour tout nombre complexe z ; on a donc, en utilisant aussi ( *),
la formule ( *) montre aussi que l’on a:
ce qui exprime que l’application qui au nombre réel t associe le nombre complexe e it ª U est un homomorphisme du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U.
Par définition, on appelle cos t et sin t respectivement les parties réelle et imaginaire de e it , soit:
puisque |e it | = 1, on a cos2t + sin2t = 1 pour tout nombre réel t .
L’étude de e it [cf. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME] montre alors qu’il existe un nombre réel p O 0 tel que e ip/ 2 = i et tel que l’application qui à t associe e it soit une bijection de l’intervalle [0, 2 p[ sur U. Puisque, d’après ( *):
on en déduit, toujours d’après ( *), que la fonction e it est périodique de période 2 p. Ainsi, tout nombre complexe u de module 1 s’écrit sous la forme:
où t est un nombre réel déterminé à 2 k p près, k entier relatif; cela revient à dire que si x et y sont deux nombres réels tels que x 2 + y 2 = 1, il existe un nombre réel t , défini à 2 k p près, tel que x = cos t et y = sin t . La propriété ( **) montre, d’autre part, que si t et t H sont deux nombres réels, on a:
ce qui, en égalant les parties réelles et imaginaires des deux membres, donne les formules trigonométriques d’addition des arguments. On déduit facilement de ce qui précède la formule de De Moivre, valable pour tout entier relatif n ,
qui permet d’obtenir de nombreuses formules de trigonométrie.
Forme trigonométrique
Nous désignerons par C* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Si z R 0, le nombre complexe z / |z | est de module 1 et on voit facilement que l’application qui à tout nombre complexe z R 0 associe le couple ( |z |, z /|z |) est une bijection de C* sur l’ensemble R*+ Z U des couples ( r , u ) d’un nombre réel r O 0 et d’un élément u ª U; la bijection réciproque associe à un tel couple ( r , u ) le nombre complexe ru , de module r . L’étude de U faite ci-dessus permet donc d’écrire tout nombre complexe z R 0 sous la forme:
appelée forme trigonométrique du nombre complexe z. On dit qu’une telle valeur de t est un argument de z ; quand on connaît une valeur de l’argument, on obtient donc toutes les autres en lui ajoutant un multiple entier relatif de 2 p et deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des arguments qui diffèrent de 2 k p, k entier relatif. Si on impose à l’argument d’appartenir à l’intervalle ]_ p, + p], il est déterminé de manière unique et s’appelle l’argument principal .
Racines n-ièmes
La recherche des nombres complexes z tels que z n = 1 va montrer l’intérêt de la forme trigonométrique. Écrivant z sous forme trigonométrique:
on doit avoir:
les nombres z n et 1 sont égaux s’ils ont le même module, soit r n = 1, d’où r = 1, et s’ils ont des arguments qui diffèrent d’un multiple entier de 2 p, soit nt = 2 k p, avec k entier relatif, en prenant 0 pour argument de 1. On peut donc écrire t = 2 k p/n ; si on se limite aux valeurs de t appartenant à l’intervalle [0, 2p], il suffit de donner à k les n valeurs successives 0, 1, 2, . .., n _1, car toute autre valeur de k donne des valeurs correspondantes de t égales, à un multiple de 2 p près, aux valeurs de t obtenues pour ces nombres. On obtient ainsi n nombres complexes de module 1 distincts.
