Considérons le problème:
On a indiqué plus haut l’impact de la théorie de la stabilité sur la théorie des corps différentiels. La théorie de la stabilité est également intervenue en algèbre en ce qu’on s’est attaché à inventorier les structures algébriques stables, æ0-stables, etc. On a d’abord montré que les corps æ0-stables n’étaient autres que les corps algébriques clos et puis, selon une ligne traditionnelle, on a tenté de ramener le cas des anneaux à celui des corps. L’étude des groupes linéaires débouche évidemment sur celle des corps. Les résultats les plus intéressants touchent les groupes localement finis. On a montré qu’il existe une grande variété de groupes localement finis universels homogènes ( cf. P. Hall, J. London Math. Soc. , 1959). On a également réussi à caractériser les groupes, nécessairement localement finis, dont la théorie est catégorique en tout cardinal ( infini). Cette caractérisation utilise les techniques de la théorie des groupes localement finis, elle-même fondée sur la théorie des groupes finis, et la théorie de la stabilité. Il s’avère que, dans l’étude des structures algébriques stables, des conditions de chaîne analogues aux conditions classiques de Noether interviennent, mais où la définissabilité joue un rôle capital.
Il convient de signaler ici quelques résultats brillants qui se rattachent partiellement, par les techniques combinatoires utilisées, aux considérations précédentes. Vers 1974, Shelah a démontré les premiers résultats explicites d’indépendance en algèbre. Il a établi que l’on ne pouvait ni démontrer ni réfuter dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel une foule de conjectures relatives aux groupes presque libres. La démonstration de Shelah, qui n’a pas grand-chose à voir avec la théorie des modèles générale, utilise un principe combinatoire dit du diamant, mis en évidence par Jensen dans son étude des ensembles constructibles, et un nouveau principe de compacité qui affirme, en particulier, qu’un groupe de cardinal singulier a ( cf. théorie des ENSEMBLES – Théorie axiomatique des ensembles) est libre dès que tous ses sous-groupes de cardinal strictement inférieur à a sont libres. Un argument combinatoire voisin de ceux qui interviennent dans la théorie de la stabilité a également permis à Shelah de répondre à une question ancienne sur les algèbres de Jónsson en montrant l’existence de groupes non dénombrables dont tout sous-groupe propre est dénombrable.
D’une nature toute différente est le résultat de Harrington et Paris [cf. RÉCURSIVITÉ], qui réalise pour l’arithmétique un peu ce que Cohen avait fait pour la théorie des ensembles. Il existe maintenant plusieurs démonstrations de leur résultat ( cf. Jon Barwise, Handbook of Mathematical Logic , North Holland, Amsterdam, 1977), dont l’une est modèle-théorique. Une nouvelle combinatoire est née, et le calcul des pseudo-nombres de Ramsay a déjà des adeptes, dont des ordinateurs.
Et l’avenir?
D’ores et déjà, une compréhension accrue des structures mathématiques élaborées a été obtenue en utilisant la théorie de la stabilité; ainsi Zilber a-t-il obtenu une démonstration modèle-théorique d’un théorème de Borel-Tits relatif aux isomorphismes des groupes algébriques simples ( d’où l’on peut, réciproquement, déduire la æ1-catégoricité de ces groupes). La classification des groupes stables semble être intimement liée à l’étude des groupes algébriques. De simples considérations de définissabilité ont permis de trivialiser les rudiments de la géométrie algébrique classique, puis d’élaborer de façon plus fine une véritable géométrie algébrique réelle. Ce concept de définissabilité, qui joue un rôle fondamental dans la théorie de la stabilité, est également primordial dans l’étude de théories naturelles instables telles que l’arithmétique. Des idées issues de la théorie de la stabilité ont été appliquées avec succès aux espaces de Banach. Il sera de plus en plus difficile aux mathématiciens d’ignorer l’arsenal de la théorie des modèles, mais il s’agira d’une théorie des modèles très large, empiétant sur la théorie descriptive des ensembles et sur la théorie de la récursivité, et débordant le cadre étroit de la logique du premier ordre.
