La physique est ontologiquement structuraliste en étudiant les relations de tous les systèmes (réduits par l'observation) qui ont causé leur forme. Donc la thèse chronologique Forme > Énergie n'est pas moins exacte que son contraire Énergie > Forme.

quadroctet > J'ajouterais que la pensée peut diviser à l'infini si le temps peut lui permettre cette réalisation.

Justement non c'est instantané. C'est d'ailleurs un des arguments de Penrose contre le fait que la pensée est mécanique. Si tu te demandes combien font 1 divisé par l'infini, tu sais instantanément que cela vaut zéro. Pour une machine tu ne pourras même pas encoder le nombre infini.

Exemple ici pour une division par zéro sur un calculateur mécanique : https://www.youtube.com/watch?v=OFJUYFlSYsM
La machine va tourner indéfiniment sans jamais pouvoir ne serait-ce qu’effleurer la réponse.

Penrose donne plein d'autre exemples tous liés à l'infini : l'argument de la diagonale de Cantor, l'incomplétude de Gödel,... Qui touche tous à l'infini. Une machine ne pourra jamais comprendre ces démonstrations. Idem pour les axiomes, on sait qu'ils sont vrais sans pouvoir le prouver, comme une vérité profondément enfouie à l'infini. Une machine ne pourra jamais formuler d'axiome.

Le 26 octobre 2018 à 16:19:35 quadroctet a écrit :

quadroctet > J'ajouterais que la pensée peut diviser à l'infini si le temps peut lui permettre cette réalisation.

Justement non c'est instantané. C'est d'ailleurs un des arguments de Penrose contre le fait que la pensée est mécanique. Si tu te demandes combien font 1 divisé par l'infini, tu sais instantanément que cela vaut zéro. Pour une machine tu ne pourras même pas encoder le nombre infini.

Tu sais que 1 divisé par l'infini fait zéro parce que tu as été formaté pour ce résultat. Demande à un collégien ce qu'il en pense, je ne suis pas sûr que sa réponse soit instantané. On parle d'une proposition dont il a fallut plusieurs millénaires pour que ça devienne une trivialité non pas d'un point de vue sémantique mais syntaxique. 1 divisé par l'infini vaut évidemment zéro non pas parce que nous avons une connaissance métaphysique de l'infini qui rend naturellement évidente cette affirmation mais parce que nous en avons une interprétation mathématiques abstraite qui la rend artificiellement évidente. A ce titre, une machine a exactement la même compréhension de cette proposition qu'un être humain lambda, elle saura répondre que 1 divisé par l'infini vaut zéro (en tout cas toute calculatrice formelle du type Casio/Ti lycée) parce qu'on lui aura appris que c'est ainsi que les choses sont lorsque ces termes désignent des entités mathématiques (et c'est le seul domaine dans lequel la proposition possède une valeur de vérité objective).

Penrose donne plein d'autre exemples tous liés à l'infini : l'argument de la diagonale de Cantor, l'incomplétude de Gödel,... Qui touche tous à l'infini. Une machine ne pourra jamais comprendre ces démonstrations. Idem pour les axiomes, on sait qu'ils sont vrais sans pouvoir le prouver, comme une vérité profondément enfouie à l'infini. Une machine ne pourra jamais formuler d'axiome.

Je ne comprends pas l'argument. On sait que les axiomes sont vrais, qu'est-ce que ça veut dire? On a des théories qui utilisent des axiomes contradictoires sans pour autant elles-même être contradictoires (exemple : Mécanique de Newton fondée sur les axiomes de la géométrie euclidienne, Relativité générale fondée sur les axiomes de la géométrie riemannienne), quelle valeur de vérité peut-on donc attribuer à ces axiomes?

M'enfin tout ceci n'est pas là pour contredire le propos général que je ne saisis de toute façon pas vraiment.

J'entends bien tes arguments car je pensais la même chose il y a peux sauf que j'ai effectué un revirement.

Demande à un collégien ce qu'il en pense, je ne suis pas sûr que sa réponse soit instantané.

Et bien j'ai fait l'expérience : j'ai demandé à ma fille de neuf ans, qui connaît la division mais rien sur l'infini, qu'est ce qu'on obtiendrait si on coupais une pizza en deux, puis encore en deux, puis encore en deux sans jamais s'arrêter. Et elle m'a répondu avec un moment d'hésitation qui n'était pas de la réflexion mais plutôt comme un effarement devant la réponse qui s'offrait à son esprit : "ben... rien". Donc je vois pas où il y eu formatage.

1 divisé par l'infini vaut évidemment zéro non pas parce que nous avons une connaissance métaphysique de l'infini qui rend naturellement évidente cette affirmation mais parce que nous en avons une interprétation mathématiques abstraite qui la rend artificiellement évidente.

C'est sur ce point que j'ai bifurqué. Nous avons bien une connaissance métaphysique de l'infini comme tu dis et c'est ce qui nous amène à penser l'idéalisme platonicien, ou Dieu, ou la matrice, ou le multi-vers, appel ça comme tu veux, bref la transcendance.

A ce titre, une machine a exactement la même compréhension de cette proposition qu'un être humain lambda, elle saura répondre que 1 divisé par l'infini vaut zéro

Ok je prends ma calculette, donne moi les instructions à suivre pour encoder ce calcul 1/∞. Sur quelle touche j’appuie, etc... Pour la division par zéro elle répondra NAN (not a number) car oui elle a été formatée pour répondre cela à cette question car nous savons qu'elle est incapable de se représenter l'infini.

Je ne comprends pas l'argument. On sait que les axiomes sont vrais, qu'est-ce que ça veut dire?

Bien sur qu'il y a une relativité axiomatique si je puis m'exprimer ainsi. Mais admettons que nous restons dans le cadre de la géométrie euclidienne, moi je demande juste si la proposition "par un point, ne peut passer qu'une seul droite parallèle à une autre" est-elle vrai ou est-elle fausse ? Si elle est vrai comment savons-nous qu'elle l'est ? Si c'est par convention, d'où vient-elle ? Et comment une machine pourrait-elle formuler un axiome ? Voilà c'est tout.

Le 27 octobre 2018 à 17:19:23 quadroctet a écrit :
J'entends bien tes arguments car je pensais la même chose il y a peux sauf que j'ai effectué un revirement.

Moi j'ai plutôt fait le revirement inverse...

Demande à un collégien ce qu'il en pense, je ne suis pas sûr que sa réponse soit instantané.

Et bien j'ai fait l'expérience : j'ai demandé à ma fille de neuf ans, qui connaît la division mais rien sur l'infini, qu'est ce qu'on obtiendrait si on coupais une pizza en deux, puis encore en deux, puis encore en deux sans jamais s'arrêter. Et elle m'a répondu avec un moment d'hésitation qui n'était pas de la réflexion mais plutôt comme un effarement devant la réponse qui s'offrait à son esprit : "ben... rien". Donc je vois pas où il y eu formatage.

Oui, mes collégiens aussi, mais ni elle ni eux n'en seraient pour autant capable d'écrire sur une feuille que "1 divisé par l'infini vaut zéro"

Si ce que tu veux dire c'est que la proposition "Une unité qu'on imagine pouvoir partager sans s'arrêter va finir par ne plus exister" vient, elle, instantanément à tout être humain, oui je suis d'accord, mais cette proposition est d'une toute autre nature que "1 divisé par l'infini vaut zéro". Et si une machine ne saurait donner de sens ni de valeur de vérité à la première, elle est par contre justement faite pour donner un sens et savoir procéder avec la seconde.

1 divisé par l'infini vaut évidemment zéro non pas parce que nous avons une connaissance métaphysique de l'infini qui rend naturellement évidente cette affirmation mais parce que nous en avons une interprétation mathématiques abstraite qui la rend artificiellement évidente.

C'est sur ce point que j'ai bifurqué. Nous avons bien une connaissance métaphysique de l'infini comme tu dis et c'est ce qui nous amène à penser l'idéalisme platonicien, ou Dieu, ou la matrice, ou le multi-vers, appel ça comme tu veux, bref la transcendance.

A ce titre, une machine a exactement la même compréhension de cette proposition qu'un être humain lambda, elle saura répondre que 1 divisé par l'infini vaut zéro

Ok je prends ma calculette, donne moi les instructions à suivre pour encoder ce calcul 1/∞. Sur quelle touche j’appuie, etc... Pour la division par zéro elle répondra NAN (not a number) car oui elle a été formatée pour répondre cela à cette question car nous savons qu'elle est incapable de se représenter l'infini.

Ben tu types "1 / infty" sur une TI-89 elle te répond 0. Ou sur wolframalpha : http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Finfty

Mais je suis d'accord, la machine ne s'est pas représenté l'infini pour répondre cela, mais ce n'est pas non plus notre représentation de l'infini qui nous permet d'écrire que "1 divisé par l'infini vaut 0" (ça permet, par contre, de le justifier).

Je ne comprends pas l'argument. On sait que les axiomes sont vrais, qu'est-ce que ça veut dire?

Bien sur qu'il y a une relativité axiomatique si je puis m'exprimer ainsi. Mais admettons que nous restons dans le cadre de la géométrie euclidienne, moi je demande juste si la proposition "par un point, ne peut passer qu'une seul droite parallèle à une autre" est-elle vrai ou est-elle fausse ? Si elle est vrai comment savons-nous qu'elle l'est ? Si c'est par convention, d'où vient-elle ? Et comment une machine pourrait-elle formuler un axiome ? Voilà c'est tout.

Une machine serait, comme nous, capable de sélectionner des axiomes, de fixer des règles logiques, d'en vérifier la consistance et d'en produire des déductions. Il lui faut juste un langage et des règles de procédures, comme nous.

Mais, de nouveau, tout ceci n'est pas là pour contredire ton propos général que je saisi mieux. Je suis "Godëliste" : ce dernier a prouvé de façon convaincante que notre façon "mécanique" de créer des théories ne permettrait jamais d'en obtenir de complètes, ça me suffit pour me convaincre qu'aucune machine ne remplacera jamais l'esprit de l'Homme.

Le 23 octobre 2018 à 22:17:02 Philocuck
Non c'est toi qui arrive pas à comprendre

Le fameux 'génie' incompris.

A propos de 1 divisé par l'infini, si la machine ne répond pas elle a bien + raison que celui qui répond 0.
Parce que 1 divisé par l'infini n'est pas définit.
Parce que la division est définie pour les entiers (les réels/les imaginaires/d'autres trucs) mais que l'infini n'appartient pas à l'ensemble des entiers.

Ce qui est définit c'est que lorsqu'on a x qui tend vers l'infini, 1/x tend vers 0.
Mais c'est aussi faux de dire que 1/infini = 0 que de dire que 1/0 = l'infini.

Quand à la représentation de l'infini sur les machines, bien sur que si, ça se fait sans problème.
La norme IEEE 754 est utilisée un peu partout pour représenter les flottants (ok, pas PARTOUT, il semble qu'il y ait des cartes graphiques qui ne stockent pas les flottants comme ça) et elle contient une représentation de + et - l'infini.

https://fr.wikipedia.org/wiki/IEEE_754

Le 28 octobre 2018 à 02:39:27 thebabouche a écrit :
A propos de 1 divisé par l'infini, si la machine ne répond pas elle a bien + raison que celui qui répond 0.
Parce que 1 divisé par l'infini n'est pas définit.
Parce que la division est définie pour les entiers (les réels/les imaginaires/d'autres trucs) mais que l'infini n'appartient pas à l'ensemble des entiers.

Ce qui est définit c'est que lorsqu'on a x qui tend vers l'infini, 1/x tend vers 0.
Mais c'est aussi faux de dire que 1/infini = 0 que de dire que 1/0 = l'infini.

La division est définie par ce que tu as envie de la définir, et 1/infini = 0 s'écrit très bien tant que tu donnes un cadre dans lequel tous ces symboles ont bien un sens. Les mathématiciens l'ont fait, on peut par exemple se placer dans le formalise de la droite numérique achevée comme on le fait en théorie de la mesure : https://fr.wikipedia.org/wiki/Droite_r%C3%A9elle_achev%C3%A9e

Mais tu as raison sur ce le reste, tout ceci n'est que du formalise abstrait de mathématicien même si on peut le programmer dans une machine quand bien même elle ne connaisse que les flotants.

Les mathématiques accordent l'existence de plusieurs ensembles infinis parmi les nombres réels.
Toutefois, l'infini métaphysique repose sur le principe suivant : [qui ne peut être dénombré].
Dans la réalité, on ne peut donc pas faire correspondre deux ensembles infinis par une bijection puisque toutes les quantités sont équivalentes à l'infini indépendamment de leurs propriétés (car ce sont des valeurs fictives).

Dans le corps des réels ℝ, le nombre ∞ n'est pas défini. Donc 1 / ∞ n'a pas de sens.

Dans la droite réelle achevée ℝ∪{−∞;+∞} (ou R-barre pour les intimes), le nombre ∞ est souvent défini comme étant +∞. Dans ce cas, 1/∞ = 0. Mais on perd « fortement » la structure de corps, on n'a même plus un groupe additif : ∞ + (−∞) n'est pas bien défini, et pour la multiplication ni 0 × ∞ ni 1 / 0 ne sont définis.
En fait, cette structure n'a vraiment d'utilité que pour simplifier les définitions de limite (qui, je le rappelle, ne font en réalité pas appel à un vrai « nombre » moins ou plus l'infini) ou bien dans le cadre de la théorie de la mesure (dans ce cas il arrive de définir 0 × ∞ = ∞ × 0 = 0).

Dans la droite projective réelle P(ℝ²), le point ∞ est défini comme le point de coordonnées homogènes [1 : 0]. Si on prend la transformation inverse x ↦ 1 / x qui transforme les coordonnées homogènes [a : b] en [b : a], on voit bien que l'image de ∞ est 0 et vice-versa l'image de 0 est ∞, donc 1 / ∞ = 0 et 1 / 0 = ∞. Mais encore une fois on ne travaille pas dans un corps mais on fait ici de la géométrie, et c'est de la géométrie projective et non plus affine ce qui pourrait donc ne plus correspondre à ce que vous voulez faire.

Enfin, on pourrait reprendre la notion de limite dont parlait quadroctet avec sa pizza.
Si on est dans le cadre des limites weierstrassiennes et qu'on travaille avec le corps des réels (et non avec la droite réelle achevée), alors ∞ n'est pas un nombre mais une notation. 1 / ∞ n'a aucun sens, c'est la notation lim_{x→∞} 1 / x = 0 qui a du sens, et cela signifie : pour tout réel ε, il existe un réel x_ε (dépendant de ε) tel que pour tout x supérieur ou égal à x_ε, |1 / x − 0| < ε.
Mais si on est dans le cadre de l'analyse non standard, par exemple avec le corps des hyperréels *ℝ, alors ∞ n'a toujours pas de sens mais on peut en revanche parler d'un hyperréel ω infiniment grand (plus grand que tout nombre réel) et on a alors que 1 / ω = ε où ε est un hyperréel infiniment petit (plus petit en valeur absolue que tout nombre réel strictement positif).
C'est cette dernière interprétation qui est souvent retenue par les élèves jeunes dans bien des cas de limites avant qu'on ne leur bourre le crâne avec le ε, δ. Exemple : le développement décimale illimitée périodique 0,9 = 0,999… est rarement vu comme une autre écriture du nombre 1, mais plutôt comme un nombre infinitésimalement proche de 1 et strictement inférieur de 1.

En fin de compte, pour qu'une machine actuellement puisse trouver un résultat à 1 / ∞, que le résultat soit défini ou non d'ailleurs, il faudra qu'on ait déjà rentré dans son code les axiomes qui mènent à ce résultat.
Il faudrait une intelligence relativement proche de l'intelligence humaine pour formaliser « toute seule » une théorie permettant d'interpréter 1 / ∞ sans aucun code relié à la question a priori, et l'intelligence artificielle est encore loin d'en arriver là. À noter cependant que rien, et sûrement pas le théorème de Gödel, ne montre que l'intelligence artificielle du futur ne sera pas capable d'y arriver. En effet, les IA d'aujourd'hui ne cherchent pas à donner une réponse (correcte) à toute question à partir d'un système formel duquel elles tirent des raisonnements, à part les programmes sur Coq, mais elles utilisent la même structure de réseaux neuronaux que nous avons dans notre cerveau. Donc elles ne bloqueront pas sur une question indécidable.

Une dernière remarque, là j'ai parlé d'infini mathématique, mais si on reprend la question de départ, on peut s'intéresser à la physique. Et là, rien ne certifie que l'infini « existe », et même s'il existe, il se pourrait que nous ne soyons jamais affectés dans notre physique : on est limité dans l'infiniment grand par la taille de l'univers observable même si l'univers était de taille infinie, et il se peut que l'espace-temps soit discret et qu'on ne puisse donc pas faire dans l'infiniment petit à cause de la longueur de Planck (cf. certaines théories en mécanique quantique). La théorie du Big Bang est reconnue comme faisant défaut au moment t=0 et les infinis qui y apparaissent ne sont donc pas des infinis « réels », et c'est la même chose pour la densité infinie de la singularité d'un trou noir. On aurait alors un infini potentiel (de part la taille de l'univers) mais pas d'infini actuel.
Mais s'il faut utiliser les champs continues sans possibilité d'espace-temps discret, alors on a bien un infini actuel. Il faut savoir qu'en mathématiques, il est possible de construire jusqu'aux nombres rationnels sans utiliser l'axiome de l'infini, qui énonce (plus ou moins) « il existe un ensemble infini », mais cet axiome devient obligatoire pour construire les nombres réels qui sont à la base de la notion de continuité (ou plus exactement de complétude, qui revient à dire qu'il n'y a pas de trou). Donc la question de l'existence de l'infini / infiniment petit semble se réduire à celle de la continuité en théorie des champs.

MindcraftMax > Très intéressant ! Mais je ne comprends pas comment tu en déduis l'existence d'un "infini actuel" à partir de cette notion de continuité dans la théorie quantique des champs (peux-tu aimablement préciser ce que sont les champs continus ?).

Le 28 octobre 2018 à 18:04:29 MindcraftMax a écrit :
[...]

C'est en effet amusant de constater que la naissance des nombres réels est venue dans un besoin de clarifier la notion physique de continuité (les infinitésimaux n'ayant pas convaincu jusqu'à leur renaissance avec l'analyse non-standard) alors qu'aujourd'hui les physiciens se posent au contraire la question de la pertinence de ces nombres réels dans leur domaine.

Voir par exemple cet article fort intéressant :
https://arxiv.org/pdf/1803.06824.pdf

Le 28 octobre 2018 à 19:17:05 Pickry a écrit :
MindcraftMax > Très intéressant ! Mais je ne comprends pas comment tu en déduis l'existence d'un "infini actuel" à partir de cette notion de continuité dans la théorie quantique des champs (peux-tu aimablement préciser ce que sont les champs continus ?).

Par champs « continus », j'entends juste que les champs dont on parle en physique sont définis sur des espaces homéomorphes à ℝⁿ ce qui signifie que les champs et l'espace sur lesquels ils sont définis « existent » en tout point de manière continue ; tout du moins c'est vrai dans la plupart des théories actuelles de ce que j'ai pu voir (mais je ne suis pas physicien, donc peut-être n'ai-je plus ou moins rien vu ?). Et je dis bien ça quelle que soit la théorie, je ne parlais pas du tout de la théorie quantique des champs en particulier.

Or en mathématiques, pour que ce continu, et en fait les réels de ℝ, existe, il faut postuler l'existence d'au moins un ensemble infini : précisément, on a dans ZF l'axiome de l'infini qui dit que l'ensemble des entiers naturels existe, et c'est cela que j'appelle « infini actuel », et qui est différent de l'« infini potentiel » qui dit qu'on peut trouver des ensembles de taille arbitrairement grande, ce qui suffit à ce que n'importe quel entier naturel, et même n'importe quel nombre rationnel, existe, mais ne suffit pas pour l'existence des nombres réels.

Or cette continuité, l'infiniment petit, nous est tout autant inaccessible en pratique (dans notre monde physique) que l'infiniment grand, rien que la mécanique quantique nous interdit de mesurer une longueur « plus petite que la longueur de Planck », donc c'est bien par des découvertes sur la nécessité ou non de travailler avec des champs pour décrire notre univers qui devrait fixer l'existence ou non d'un infini actuel intrinsèque à notre univers. Plus exactement, si aucune théorie physique reposant uniquement sur un espace discret (et donc pas de champ continu) ne permet de décrire notre univers au moins aussi bien que des théories avec espace-temps continu, alors on pourra dire que l'infiniment petit existe réellement physiquement ; par contre bien sûr l'existence d'une théorie physique qui fonctionne bien sans continuité ne suffira pas à prouver que l'infini actuel est complètement exclus du monde physique mais d'autres arguments métaphysiques pourraient alors rentrer en ligne de compte (par exemple le rasoir d'Ockham).

Le 28 octobre 2018 à 20:00:23 Jooord a écrit :
C'est en effet amusant de constater que la naissance des nombres réels est venue dans un besoin de clarifier la notion physique de continuité (les infinitésimaux n'ayant pas convaincu jusqu'à leur renaissance avec l'analyse non-standard) alors qu'aujourd'hui les physiciens se posent au contraire la question de la pertinence de ces nombres réels dans leur domaine.

Voir par exemple cet article fort intéressant :
https://arxiv.org/pdf/1803.06824.pdf

Cet article est effectivement très intéressant, malheureusement j'ai peur qu'il ne soit pas mathématiquement bien fondé (tel qu'il est rédigé en tout cas). Il y a beaucoup de mots, mais un manque de définitions précises. L'ensemble des nombres calculables est effectivement négligeable (mesure de Lebesgue nulle), cependant l'affirmation « presque tous les nombres réels sont totalement hors de notre portée » parce que « il n'y a qu'un nombre dénombrable de noms et de caractérisations possibles » est erronée. Il suffit de voir le théorème de Löwenheim-Skolem pour un langage dénombrable. Il y a une explication sur les modèles de ZFC où tous les nombres réels sont « définissables » dans ce papier https://arxiv.org/pdf/1105.4597.pdf Sinon la section VI me semble manipuler des concepts assez flous, et je suis sceptique quant à leur équivalence avec les résultats de physique quantique.

Maintenant moi je crois en la finitude de notre monde physique. Le statu quo de l'acceptation sans (même début de) questionnement de l'axiome de l'infini pour presque toutes les théories physiques m'énerve au plus au point, et de manière plus générale l'absence de réflexions philosophico-logiques de la part des scientifiques et mathématiciens et dans l'éducation, notamment les études supérieures, où les étudiants devraient être censés utiliser leur esprit critique au lieu gober les théories mainstreams sans savoir d'où elles viennent, pour les recracher du mieux qu'ils peuvent. Je ne peux donc que saluer l'existence de ce genre d'articles.

Moi je ne suis ni convaincu de la finitude ni de l'infinitude, par contre je suis comme toi convaincu qu'il y a encore trop de dogmatisme à ce sujet dans l'enseignement comme dans la recherche, mais j'ai tout de même l'impression que les choses changent petit à petit avec une nouvelle génération d'enseignants, en tout cas c'est ce que je perçois chez les collègues qui ont mon âge (et que je ne perçois pas chez les collègues proche de la retraite).

Après, on peut pas trop en vouloir, c'est encore neuf cette vision des sciences, enfin la vision elle-même n'est pas neuve mais ça ne fait que peu de temps qu'on commence à lui attacher de l'importance. Je suis en ce moment un master d'épistémologie qui est ouvert depuis 6 ans, les 4 premières années ils avaient maximum 12 étudiants par an, la cinquième année c'est passé à une trentaine et cette année nous sommes une soixantaine au point qu'ils ont dû revoir leur maquette. Et les étudiants viennent de tous les milieux, beaucoup d'enseignants certes mais des architectes, médecins, militaires, ... les gens commencent à réaliser petit à petit qu'une science c'est bien autre chose que les seules théories qu'elle contient et que les questions méta doivent occuper une place importante dans leur étude quand nous avons au contraire jusque là tenté de les éluder.