Comment on résoud cette intégrale, j'ai un raisonnement mais il est faux je pense :

On a y = arccos(x) <=> x = cos(y)

D'où

arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) = y <=> cos(x) / ( 1+2cos(x) ) = cos (y)

Donc :

arcsin ( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) = arcsin (cos (y) ) = arcsin ( sin (y + pi/2 ) ) = y + pi / 2

On sait que
Pour tout x réel
arccos (x) + arcsin (x) = pi / 2

Donc arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) + arcsin ( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) = pi /2
i.e.

y + y + pi/2 = pi/2 <=> 2y = 0
Donc y = 0

Ainsi arccos( cos(x) / (1 + 2cos(x) ) ) = 0

Donc l'intégrale est égal à 0

C'est bon les khey ?

Mais je doute à mort, car mon résultat est absurde. J'ai faux

Je ne sais pas comment calculer l'integrale analytiquement. Ca fait 2 et des poussieres numeriquement.

Mais ton raisonnement est en effet absurde. Oublie l'integrale un moment. Je reprends ton raisonnement en utilisant z au lieu de l'expression avec cos(x) pour simplifier les expressions, ca ne change rien:
acos(z)=y <=> z=cos (y)
Donc: asin(z) = asin(cos(y)) = asin(sin(y + pi/2)) = y + pi/2

acos(z) + arcsin(z) = pi /2
Donc: y + y + pi/2 = pi/2 <=> y = 0
Et: acos(z)=0
i.e., tu viens de demontrer que la fonction acos est la fonction nulle...

Quand tu manies acos et asin, fais bien attention aux domaines de definition. En particulier
acos(cos(x))=x est valable ssi x est compris entre -pi/2 et pi/2
asin(sin(x))=x est valable ssi x est compris entre 0 et pi