Salut.

J’ai lu ici et là que le spin n’est pas invariant sous une rotation de 2pi.
Autrement dit, appliquer un opérateur R(2pi) change l’état initial par un facteur -1.
Quelqu’un pourrait m’expliquer?

On définit l'opérateur rotation comme étant R(θ)=exp(-iθS.u/ħ)
De plus tu peux exprimer les composantes du spin avec les matrices de Pauli: Sxyz= (ħ/2)σ(xyz)

Donc R(θ)=exp(-iθσ.u/2)

Si tu fais un développement de Taylor de cette exponentielle tu as tous les termes pairs et impairs qui ressortent.

Tu peux donc fabriquer un cos (termes pairs du DL) et un sin (termes impairs du DL).

Tu as donc R=cos(θ/2)-iσ.u sin(θ/2)

Sachant que, dans la base (ex, ey, ez), u=ux ex + uy ey + uz ez et σ=σx ex + σy ey + σz ez

Donc tu fais le produit scalaire entre σ et u.... tu obtiens donc la matrice:

(uz             ux-iuy)
(ux+iuy     -uz)

Tu construis donc la matrice 2x2 avec R=Id*cos(θ/2)-iσ.u sin(θ/2) (Id = matrice identité)

Tu as donc:

( cos(θ/2)-iu(z)sin(θ/2)                -(iux+uy)sin(θ/2)   )

(-iux+uy)sin(θ/2)                           cos(θ/2)+iu(z)sin(θ/2)  )

Voici la matrice 2x2. Tu vois que pour θ=2π, on a la matrice :

(-1 0)
(0 -1) DONC R(2π)=- Id.

Le spin n'est donc pas invariant sous une rotation de 2π mais bien d'une rotation de 4π. C'est assez contre-intuitif, et pour s'en rendre compte, il faut calculer !!

Je rajoute que si ça t'intéresse tu devrais lire un peu sur les représentations des groupes de Lie.

En particulier le groupe spinoriel Spin(3) est isomorphe à SU(2), et les algèbres de Lie de Spin(3) et SO(3) sont aussi isomorphes. Spin(3) est le double rêvetement de SO(3), et puisqu'il est isomorphe à SU(2), et que les matrices de Pauli sont les générateurs de l'algèbre de Lie de SU(2), tu montres aisèment que ça te conduit au résultat que t'as énoncé (à savoir que si ton état a pris un signe -1 devant quand t'as fait une rotation de 2pi).
Ca peut aussi te permettre de dire qu'il n'y a que des fermions ou des bosons. (spin entier ou demi-entier)

Merci pour vos réponses!
Jean-Electron, il y a quelques aspects que je comprends mal dans ton explication:

1:Je ne comprends ce que représente «u»

2: Pour moi, un opérateur de rotation doit agir sur un vecteur (dans ce cas-ci, le spin),
mais toi, tu exprimes l’opérateur en fonction du spin. J’avoue que ça me perturbe un peu.
Je dois mal saisir ce que représente l’opérateur dans le contexte.

3: Je ne comprends pas pourquoi le produit scalaire entre u et sigma donne une matrice.

Calabi, merci pour ton explication, mais je sens que tout ça n’est pas de mon niveau.

J'ai pas encore étudié ça mais pour le point 3 les composantes de "σ" sont des matrices 2x2 donc si t'écris explicitement le produit scalaire ça te fait u_x*σ_x + u_y*σ_y + u_z*σ_z, tu remplaces les σ_i par leur valeur et tu fais la somme ça te donne bien une matrice 2x2

Le 26 février 2015 à 04:52:26 Norwood-1er a écrit :
Merci pour vos réponses!
Jean-Electron, il y a quelques aspects que je comprends mal dans ton explication:

1:Je ne comprends ce que représente «u»

u est le vecteur unitaire projeté sur le spin. J'utilise la définition de l'opérateur rotation seulement.

2: Pour moi, un opérateur de rotation doit agir sur un vecteur (dans ce cas-ci, le spin),
mais toi, tu exprimes l’opérateur en fonction du spin. J’avoue que ça me perturbe un peu.
Je dois mal saisir ce que représente l’opérateur dans le contexte.

Réponse en 1. J'utilise sa définition, c'est tout. Tu peux mettre le moment cinétique orbital L si tu veux, ça sera pareil. Tu ne peux pas avoir de vecteur dans l'exponentielle, ça n'a pas de sens.

3: Je ne comprends pas pourquoi le produit scalaire entre u et sigma donne une matrice.

Car sigma sont les matrices de Pauli, et u est décomposé sur la base (ex,ey,ez) ce qui donne donc une matrice 2x2. Il faut absolument que tu refasses le calcul pour t'en rendre compte.

PS: t'es vachement matinal comme type

PS: t'es vachement matinal comme type

Je suis Québecois, alors pour moi, il était environ 23h00.
Je te remercie grandement pour le temps que tu mets à me répondre.
En relisant, ta première réponse, je me rends compte qu’il y a un autre point qui me pose problème. C’est lorsque tu passes de «R(θ)=exp(-iθσ.u/2)» à «R=cos(θ/2)-iσ.u sin(θ/2)»

Le raisonnement que tu évoques à propos du développement en série de Taylor de l’exponentielle complexe mène normalement à la formule d’Euler: e^ix = cos(x)+isin(x)
En remplaçant x par -θσ.u/2, on devrait plutôt obtenir:

e^-iθσ.u/2= cos(θσ.u/2)-isin(θσ.u/2).
Bref, contrairement à ce que tu as écris, le terme «σ.u» devrait faire partie
de l'argument du sinus et du cosinus.

Je t'écris ça sur un bout de papier !

Haha! Merci.
Je suppose que le forum de jv.com n’est pas pas
ce qu’il y a de plus pratique pour les longs développement
mathématiques.

Non

Je vais manger je te fais ça après !

bon appétit. Et ne te donne pas trop mal.

Je comprends bien le raisonnement, mais la formule magique me perturbe beaucoup.

Est-ce qu’il existe un théorème qui justifie cette étape?

Mon prof de physique atomique me l'a donné la semaine dernière tu vois, on l'a pas démontrée par contre. Essaie de trouver une démonstration.

Ça marche!
Merci infiniment pour ton aide.

Le 26 février 2015 à 20:41:07 Norwood-1er a écrit :
Ça marche!
Merci infiniment pour ton aide.

En fait pourquoi tu voulais savoir tout ça ?

Pour la magie j'ai écrit explicitement le produit (σ.u)² en utisant les propriétés des σ_i et à la fin on trouve bien que ça fait (u.u)*I = I
Mais bon doit y avoir un truc autre que le calcul direct pour le voir.

Oui ça a pas été sorti du chapeau c'est sûr !

Vu tes questions je te conseille vivement de t'intéresser aux groupes de Lie, à leurs algèbres et leurs représentations.
Tu peux par exemple lire ce document. Si tu parviens à le comprendre t'auras une bonne approche pour saisir le lien entre le spin et la rotation..
http://www.physics.rutgers.edu/~steves/502/Lectures_Final/Lec03_SU%282%29.pdf

La théorie des groupes est importante si tu veux étudier la physique des particules après.