Vu que l'installation mongoles à l'est de l'Europe et du Proche Orient durent plusieurs siècles, j'ai plusieurs pistes qui peuvent être plus ou moins éloigner chronologiquement.
En Europe de l'Est, la Horde Dorée soumet plus ou moins les principautés rus et rasent celle qui ne se soumettent pas, c'était une technique classique des mongols et ça fut également le cas de Bagdad par exemple.
Cette situation de vassalité des principautés restantes profite à la Moscovie qui se voit offrir le privilège de récolter le tribut, et monte en puissance au fur et à mesure que l'unité de la Horde Dorée baisse afin de servir de contre-poid régional au Grand-duché de Lituanie.
Indirectement la domination mongole permis l'unification de la Russie par la Moscovie, achevé avec l'avenement d'Ivan IV et l'annexion des Khanat de Kazan, d'Astrakhan au milieu du XVIeme siècle.
http://encyclopedia2.thefreedictionary.com/Mongol-Tatar+Yoke
Pour le proche-orient et l'Europe du Sud, je m'y connais moins mais je sais que l'arrivé d'une aussi grande puissance pour l'époque a permis plus ou moins de bousculer l'équilibre politique par opportunisme.
Face aux Mamelouks, le reste des royaumes croisés franc de Terre Sainte coopérent avec les Ilkhanides pour tenter de repousser les musulmans jusqu'en Egypte.
Je connais encore moins le sujet mais je crois qu'il y a eu une politique similaire des restes de l'Empire Byzantin avec la Horde d'or face à la Bulgarie.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Alliances_franco-mongoles
https://en.wikipedia.org/wiki/Byzantine%E2%80%93Mongol_alliance
En ce qui concerne les réactions européennes à l'invasion, je ne les connais pas spécialement. Je sais juste que c'est l'une des seuls fois où les teutoniques ont combattu aux cotés des Polonais 
J'ai trouvé cet article un peu vieux si ça t'interesse sur le sujet :
http://14-18.institut-de-france.fr/1914-discours-henri-cordier.php