salut les khey j'ai besoin d'aide comment montrer que si une suite de fonctions continue et strictement croissante sur un compact I converge uniformément vers f, alors sa limite uniforme f est aussi strictement croissante sur le compact I ?

Je ne sais pas, bon courage nonobstant.
+ up

Le 27 novembre 2022 à 22:44:27 :
Je ne sais pas, bon courage nonobstant.
+ up

merci khey

le problème c'est que le passage à la limite donne des inégalités larges donc ce serait trivial pour montrer la croissance mais la stricte croissance je sais pas comment faire

Aucune idée Kheyou, j'ai pas encore fait ce chapitre
Tu m'aurai demandé ça en Janvier, je t'aurai répondu
Bona u moins mon up servira à quelque chose

Le 28 novembre 2022 à 00:00:52 :
Aucune idée Kheyou, j'ai pas encore fait ce chapitre
Tu m'aurai demandé ça en Janvier, je t'aurai répondu
Bona u moins mon up servira à quelque chose

merci khey

j'aimerais utiliser le théorème de Hurwitz mais les hypothèse ne sont pas vérifiées...

Pour montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues et strictement croissantes sur un compact est elle-même strictement croissante, il suffit de montrer que pour tous x, y dans le compact, avec x < y, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N, la fonction de la suite est strictement croissante en x et y, c'est-à-dire que f_n(x) < f_n(y).

Comme la suite de fonctions converge uniformément vers la limite uniforme f, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N et pour tous les x dans le compact, on a |f_n(x) - f(x)| < 1. Si on pose z = f(x), alors on a |f_n(x) - z| < 1, ce qui signifie que f_n(x) est dans l'intervalle (z - 1, z + 1).

De même, on a |f_n(y) - f(y)| < 1, donc f_n(y) est dans l'intervalle (f(y) - 1, f(y) + 1). Comme f est strictement croissante, on a f(x) < f(y), donc les intervalles (z - 1, z + 1) et (f(y) - 1, f(y) + 1) ne se chevauchent pas. Par conséquent, il existe un entier naturel N tel que pour tous les entiers naturels n supérieurs à N, la fonction de la suite est strictement croissante en x et y, c'est-à-dire que f_n(x) < f_n(y), ce qui montre que la limite uniforme f est elle-même strictement croissante sur le compact.