-Si le taux de variation d’une fonction f entre deux nombres quelconques d’un intervalle I est positif, alors f est strictement croissante sur I.
-S’il est négatif, f est strictement décroissante sur I.
-S’il est nul, f est constante sur I.

La prof de maths que je remplace avait cette propriété écrite sur son cours pour le chapitre sur le taux de variation et nombre dérivé.

On est d'accord que cette propriété est fausse ? SI la fonction n'est pas monotone, le taux de de variation peut très bien être positif sur un intervalle, et négatif sur une partie de cet intervalle par exemple

Pour moi, ça me semble totalement évident, mais ça me semble curieux qu'elle ait mis ça dans son cours... Soit elle a confondu avec la réciproque (qui, elle, est vraie) soit avec la dérivée

C'est évidemment faux, prendre sinus entre 0 et pi ou x^2 entre -1 et 1.

+ il manque des strictement dans les énoncés.

Bon j'ai relu, en fait je pense que c'est juste pas très bien dit.

Ça serait plutôt :
Si pour tout x,y de I vérifiant x<y on a (f(y)-f(x))/(y-x) >0 alors f est strictement croissante sur I.
Et idem pour la variante <0 et =0. Il y a quand même pas mal de soucis :
-Formulation ambiguë
-Oubli du "strictement" devant la positivité du taux d'accroissement
-Il faut préciser que les deux nombres doivent être distincts