Je lance une pièce parfaitement équilibrée 100 fois. (J'ai que ça à foutre je suis desco rsaiste).
Elle tombe 100 fois sur "pile".
On ne va pas réévaluer la proba que la pièce soit équilibrée ici, ce n'est pas la question. Partez vraiment du principe qu'elle EST équilibrée.

Si je continue à lancer ma pièce des millions et des millions de fois, les proportions de "pile" et de "face" vont toutes deux tendre vers 50%. Mais qu'est ce qu'il va se passer au niveau de l'écart brut ?
Est-ce que les "pile" vont conserver une avance d'environ 100 ?

J'imagine que non, qu'après 10^100 lances il y aura eu plein d'oscillations (au début le total de "pile" est plus élevé, mais tôt ou tard la tendance s'inverse, puis se réinverse, etc etc).
Mais y a-t-il un moyen de savoir l'espérance du nombre de lancers nécessaires pour que les "face" rattrapent les "pile" pour la première fois?
Ou la proba que les "face" rattrapent les "pile" pour la première fois après n lancers ou moins.

oui avec la loi binomiale

La loi binomiale permet de modéliser la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes qui comportent deux issues.

L'écart c'est une marche aléatoire "récurrente"
Elle passe par toutes les valeurs possibles et inimaginables (5,-17,373839595) et ce une infinité de fois

j'ai trouvé un lien qui décrit exactement ton problème https://mistis.inrialpes.fr/software/SMEL/articles/abrogeons/cadre_abrogeons.html
Supposez qu'en 100 lancers vous obteniez 55F et 45P - un excès de 10F. La théorie des marches aléatoires indique qu'après un nombre suffisant de lancers supplémentaires le bilan se rééquilibrera (avec une probabilité égale à 1). N'est-ce pas la loi des moyennes ? Non, du moins pas telle qu'elle est interprétée habituellement. Si vous choisissez à l'avance un nombre de lancers supplémentaires (par exemple, un million), ce million de coups ne sera pas influencé par l'excès initial.
En outre, si vous faites un grand nombre d'expériences, chacune avec un million de coups supplémentaires, vous obtiendrez en moyenne 500 055F et 500 045P dans la séquence combinée de 1 000 100 lancers : en moyenne, le déséquilibre persiste. Notez toutefois que la fréquence des F passe de 55/100 (0,55) à 500 055/1 000 100 (0,500 005). La loi des moyennes s'affirme non en éliminant les déséquilibres mais en les noyant.

Le 09 octobre 2021 à 14:55:24 :
oui avec la loi binomiale

La loi binomiale permet de modéliser la fréquence du nombre de succès obtenus lors de la répétition de plusieurs expériences aléatoires identiques et indépendantes qui comportent deux issues.

En gros :

Proba que le nombre de face atteigne le nombre de pile après n lancers, c'est 0 si n est impair, et si n=2k ça serait P(X=k+50) pour X suivant une loi binomiale de paramètres 2k et 0.5.
C'est déjà pas mal mais ça ne me donne pas la proba que ça se produise pour la PREMIERE fois après n lancers

Le 09 octobre 2021 à 14:56:28 :
L'écart c'est une marche aléatoire "récurrente"
Elle passe par toutes les valeurs possibles et inimaginables (5,-17,373839595) et ce une infinité de fois

Un écart de -17,373839595 sur une quantité de piles / de face c'est compliqué
Mais ok, merci pour l'info. Je me doutais un peu de ce résultat mais je serais curieux de voir si on peut calculer quand est-ce qu'un écart donné devrait être atteint pour la première fois.

Le 09 octobre 2021 à 14:58:57 :
j'ai trouvé un lien qui décrit exactement ton problème https://mistis.inrialpes.fr/software/SMEL/articles/abrogeons/cadre_abrogeons.html
Supposez qu'en 100 lancers vous obteniez 55F et 45P - un excès de 10F. La théorie des marches aléatoires indique qu'après un nombre suffisant de lancers supplémentaires le bilan se rééquilibrera (avec une probabilité égale à 1). N'est-ce pas la loi des moyennes ? Non, du moins pas telle qu'elle est interprétée habituellement. Si vous choisissez à l'avance un nombre de lancers supplémentaires (par exemple, un million), ce million de coups ne sera pas influencé par l'excès initial.
En outre, si vous faites un grand nombre d'expériences, chacune avec un million de coups supplémentaires, vous obtiendrez en moyenne 500 055F et 500 045P dans la séquence combinée de 1 000 100 lancers : en moyenne, le déséquilibre persiste. Notez toutefois que la fréquence des F passe de 55/100 (0,55) à 500 055/1 000 100 (0,500 005). La loi des moyennes s'affirme non en éliminant les déséquilibres mais en les noyant.

Ok merci pour le lien, je lis ça !

Pour savoir combien d'essais il faut pour rattraper.

Supposons que tu commences à 0 et tu cherches le temps moyen pour atteindre N d'écart (au lieu d'aller de -N à 0)
Tu notes T la v.a associée à ce temps.

La theorie des martingales permet
1) d'obtenir la loi de T
2) son esperance etc

Si javais le temps jte dirais comment faire

Le 09 octobre 2021 à 15:01:30 :

Le 09 octobre 2021 à 14:56:28 :
L'écart c'est une marche aléatoire "récurrente"
Elle passe par toutes les valeurs possibles et inimaginables (5,-17,373839595) et ce une infinité de fois

Un écart de -17,373839595 sur une quantité de piles / de face c'est compliqué
Mais ok, merci pour l'info. Je me doutais un peu de ce résultat mais je serais curieux de voir si on peut calculer quand est-ce qu'un écart donné devrait être atteint pour la première fois.

3,3,5666 ca veut rien dire! C'etait un separateur de liste pas un séparateur décimal

Sympa l'article, et du coup c'est marrant ça change selon qu'on considère une expérience à deux issues ou à plus

Le 09 octobre 2021 à 15:09:44 :
Perso je trouve que si l'écart est de N alors il faut en moyenne N^2 coups pour rattraper

Tu peux détailler un peu le calcul stp ?

Nan j'ai fait une grosse gaffe. N^2 c'est le temps moyen pour atteindre N ou -N...

J'ai peur que le temps moyen d'atteinte de N est +inf

J'ai regardé sur python si tu donnes une avance de 100 à pile, que tu fais 10 000 lancers en moyenne tu as :
l'avance est conservée à la fin (5099 piles contre 4999 faces par exemple)
en moyenne s'il y a un premier rattrapage des faces il arrive vers le 5000ème lancers
un rattrapage arrive dans 3% des cas

Donc voilà je suis sûr de moi
Imagine que ton pote a fait 1 pile de plus que toi

Tu le rattraperas TOUJOURS un jour.
Cependant, le temps moyen de rattrapage est infini. Il existe certains chemins de probabilité pas si faible que ça qui te font plonger en nombre de piles par rapport à ton pote, ce qui fait que le temps peut être parfois très très long.

import numpy as np

depart = 0
arrivee = 2

res = []
n = 100
for i in range(n) : 
	x = depart
	curs = 0
	while x != arrivee :  
## si tu remplaces x != arrivee par abs(x) != arrivee 
## tu auras le temps d'atteinte moyen de 
## -arrivee ou arrivee qui vaut normalement arrivee^2
		x += np.random.choice([-1,1])
		curs+=1
	res.append(curs)

print(np.mean(res)) ##temps d'atteinte moyen 

Un code en python. Tu peux tester si tu remplaces x!= arrivee par abs(x) != arrivee que le temps moyen que l'écart entre vous deux atteigne par exemple 3 (sachant qu'au début vous avez autant de piles l'un l'autre) est de 3² = 9. Cependant le temps moyen pour atteindre seulement 3 (et pas 3 ou -3) est de +oo !!!!

Pour la démonstration, quand T = inf {t € N tel que Xt = N ou Xt = -N}
On démontre que E[T] = N²

La démo passe par la théorie des martingales. C'est niv bac +3 si tu t'y connais pas tu peux juste voir 2 3 idées rapides, pas grave
On a XT² = N².
(Xt) est une martingale et on démontre ainsi que Xt² - t est aussi une martingale

On vérifie que le "théorème d'arrêt" s'applique ici et que

E[XT² - T] = E[X0² - 0] = 0
D'où E[T]= E[XT²]= N²

Ce raisonnement ne fonctionne pas quand tu choisis T = inf {t € N tel que Xt = N} parce que T grandit trop vite, et le théorème d'arrêt ne s'applique pas

Effectivement !
Merci pour le code et la démo. J'ai pas un mauvais niveau en maths mais les probas n'ont jamais été mon point fort et ça fait un petit moment que j'ai pas touché à un cours donc j'ai un peu rouillé. J'ai compris les grosses lignes.