Pour ceux qui sont sur le paradoxe de Banach-Tarski, ça vient du fait que certains ensembles sont non-mesurables.
Pour résumer le truc, prenons un ensemble de points mesurable (par exemple l'ensemble de points peut représenter un gâteau, la mesure serait son volume) 
Alors il est possible de le casser en plusieurs ensembles non mesurables (c'est complètement abstrait et impossible à faire en réalité bien sûr). Ces "morceaux non mesurables" ne ressemblent d'ailleurs à rien, ce serait visuellement une sorte de nuage de points indescriptible.
A partir de là on peut recombiner ces ensembles non mesurables en 2 gâteaux identiques à celui du départ.
Il faut comprendre que mathématiquement ça fait sens car on passe de :
gâteau (mesurable)
truc non mesurable
2 gâteaux (mesurables)
Le fait qu'on passe par une phase non mesurable fait qu'on perd le sens de la mesure, donc il n'y a aucune raison qu'elle se conserve avant et après (on pourrait même faire 3 ou 4 gâteaux) 