C'est pourtant trivial.

L'algèbre linéaire, c'est vraiment la matière du démon.

Le 06 octobre 2018 à 14:08:37 Atlantisme a écrit :
Visiblement Alain Connes en parle un peu dans cette conférence, vers le début.
https://www.youtube.com/watch?v=QfZLKxKTS2c
Pas vérifié, j'ai trouvé ça sur un forum de maths

Oui !

À ce moment-là https://youtu.be/QfZLKxKTS2c?t=530 !

Le 06 octobre 2018 à 14:12:39 Pantino27 a écrit :
L'algèbre linéaire, c'est vraiment la matière du démon.

C'est ce qu'il y a de plus simple en maths.

Le 06 octobre 2018 à 14:12:59 Dextre90 a écrit :

Le 06 octobre 2018 à 14:12:39 Pantino27 a écrit :
L'algèbre linéaire, c'est vraiment la matière du démon.

C'est ce qu'il y a de plus simple en maths.

Bordel je pige rien moi

C'est marrant l'énoncé est compréhensible même pour un non matheux. Pour un taupin actuel (programme/qualité des enseignants) ce serait un sujet plutôt "simple" ?

Le 06 octobre 2018 à 14:12:39 Pantino27 a écrit :
L'algèbre linéaire, c'est vraiment la matière du démon.

Ici le sujet a beaucoup dérouté parce qu'il même intuitions algébriques et intuitions géométriques. Mélange qui, si l'on en croit le commentaire sur le sujet, faisait défaut à l'époque en prépa.

La difficulté qui correspond à la moyenne basse du forum

Du coup, il dit bien que son voisin écrivait sur sa copie. Et qu'il a trouvé la solution du problème en sortant de la salle.

Le 06 octobre 2018 à 14:18:10 Eyre a écrit :
C'est marrant l'énoncé est compréhensible même pour un non matheux. Pour un taupin actuel (programme/qualité des enseignants) ce serait un sujet plutôt "simple" ?

je suis non-matheux et déjà espace vectoriel euclidien ça me fout en pls
+respect à vous les matheux

Alors non ça ne reste pas trivial hein, je sais de quoi je parle.
Je vais m'y atteler sans correction, on va voir un peu.
Edit: et j'approuve le propos de Dextre qui déclare que l'algèbre linéaire est ce qu'il y a de plus simple.
Bien sûr, on peut quand même toujours monter le niveau...

Le 06 octobre 2018 à 14:04:30 Dextre90 a écrit :

Le 06 octobre 2018 à 14:02:56 -CimerQuintero a écrit :
Tout le monde a rendu copie blanche ? Il y en a quand même je pense qui ont au moins tenté d'inscrire une trace de réflexion, aussi minime soit elle.

Copie blanche c'est une hyperbole.

Il faut comprendre qu'en maths c'est soit vrai, soit faux, une tentative de démonstration n'a aucune valeur si elle n'aboutit pas.

D'accord, merci.

Le 06 octobre 2018 à 15:38:48 Dagnyr a écrit :
La question 1) n'est pas extrêmement difficile.

On construit une base orthonormale dont le premier vecteur est u, notée (u,v,w).
L'ensemble O (je note Oméga O pour simplifier) devient alors l'ensemble des vecteurs tels que les coordonnées (a,b,c) dans ma base vérifient a>=0 et a² >= b² + c². Autrement dit, O est l'intérieur d'un demi-cône d'axe u et d'angle pi/2.

Montrons que Y = O.
Soit x = au + bv + cw dans O.
Soit x' = a'u + b'v + c'w, également dans O.
On veut montrer (x,x') >=0, et on sait déjà que aa' >=0.
Montrons que aa' >= |bb' + cc'|
(aa')² >= (b²+c²)(b'²+c'²) = b²b'² + b²c'² + c²b'² + c²c'² >= b²b'² + c²c'² + 2bb'cc' = (bb' + cc')² CQFD
Donc O est inclus dans Y.

Soit y = au + bv + cw dans Y.
u appartient à O, donc a est positif. Il reste à montrer que a² >= b² + c².
on considère le vecteur x= (sqrt(b²+c²), -b, -c) qui appartient clairement à O.
alors (y|x) = a*sqrt(b²+c²) - (b² + c²)
donc a*sqrt(b²+c²) >= b² + c²
donc a² >= b² + c²
Et finalement, Y = O

Pour la 2), on peut proposer une application de rang 1 qui a pour image une droite engendrée par un vecteur qui se trouve sur le bord du demi-cône.
Genre u(x) = (x|e)e avec e tel que (e|s(e)) = 0
Notons e = f+g, avec f et g dans O.
alors (f+g|s(f) + s(g)) = 0.
donc (f|s(f)) + (g|s(g)) + (f|s(g)) + (g|s(f)) = 0
i.e (f|s(f)) + (g|s(g)) + 2 (f|g) + (f|-2(g|u)u) + (g|-2(f|u)u)= 0
Or (f|s(f)) + (g|s(g)) - 4(f|u)(g|u) <= 0 et (f|g) >= 0
Par Cauchy-Schwarz, (f|g) <= ||f|| ||g||
Si f = au + bv + cw, on sait que a² >= b² + c². En particulier, ||f||<= sqrt(2) a = sqrt(2) (f|u)
d'où (f|g) <= ||f|| ||g|| = 2 (f|u)(g|u)
D'où 2(f|g) <= 4(f|u)(g|u)
Avec l'inégalité qui précède, ceci impose (f|s(f)) = (g|s(g)) = 0
et que le cas d'égalité soit respecté dans toutes les inégalités qu'on a vues passer.
En particulier, (f|g) = ||f|| ||g||, donc f et g ne sont pas linéairement indépendants.

Ainsi, e ne peut pas s'écrire comme somme de deux vecteurs de O linéairement indépendants.
En particulier, pour que u soit somme de deux éléments de N, il faut que ceux-ci, envoient O sur Vect(e). O contient une base de E, donc il faut que ces deux éléments aient Vect(e) pour image, et ils sont alors linéairement liés à u.
Donc u est un endomorphisme extrémal.

Réciproquement, on peut montrer que si l'image de u n'est pas sur le bord du demi-cône, il ne sera pas extrémal, en raisonnant un peu de la même manière mais j'ai grave la flemme.

Bref, c'est pas infaisable avec le programme de prépa actuel mais c'est quand même un exo difficile, je pense.
Et j'ai pas regardé les autres questions.

T'es qui toi ?

En fait y a une erreur à la fin de ma démo...
Je vais regarder pour corriger ça.

Le 06 octobre 2018 à 15:43:02 -Hakatron- a écrit :

Le 06 octobre 2018 à 15:38:48 Dagnyr a écrit :
La question 1) n'est pas extrêmement difficile.

On construit une base orthonormale dont le premier vecteur est u, notée (u,v,w).
L'ensemble O (je note Oméga O pour simplifier) devient alors l'ensemble des vecteurs tels que les coordonnées (a,b,c) dans ma base vérifient a>=0 et a² >= b² + c². Autrement dit, O est l'intérieur d'un demi-cône d'axe u et d'angle pi/2.

Montrons que Y = O.
Soit x = au + bv + cw dans O.
Soit x' = a'u + b'v + c'w, également dans O.
On veut montrer (x,x') >=0, et on sait déjà que aa' >=0.
Montrons que aa' >= |bb' + cc'|
(aa')² >= (b²+c²)(b'²+c'²) = b²b'² + b²c'² + c²b'² + c²c'² >= b²b'² + c²c'² + 2bb'cc' = (bb' + cc')² CQFD
Donc O est inclus dans Y.

Soit y = au + bv + cw dans Y.
u appartient à O, donc a est positif. Il reste à montrer que a² >= b² + c².
on considère le vecteur x= (sqrt(b²+c²), -b, -c) qui appartient clairement à O.
alors (y|x) = a*sqrt(b²+c²) - (b² + c²)
donc a*sqrt(b²+c²) >= b² + c²
donc a² >= b² + c²
Et finalement, Y = O

Pour la 2), on peut proposer une application de rang 1 qui a pour image une droite engendrée par un vecteur qui se trouve sur le bord du demi-cône.
Genre u(x) = (x|e)e avec e tel que (e|s(e)) = 0
Notons e = f+g, avec f et g dans O.
alors (f+g|s(f) + s(g)) = 0.
donc (f|s(f)) + (g|s(g)) + (f|s(g)) + (g|s(f)) = 0
i.e (f|s(f)) + (g|s(g)) + 2 (f|g) + (f|-2(g|u)u) + (g|-2(f|u)u)= 0
Or (f|s(f)) + (g|s(g)) - 4(f|u)(g|u) <= 0 et (f|g) >= 0
Par Cauchy-Schwarz, (f|g) <= ||f|| ||g||
Si f = au + bv + cw, on sait que a² >= b² + c². En particulier, ||f||<= sqrt(2) a = sqrt(2) (f|u)
d'où (f|g) <= ||f|| ||g|| = 2 (f|u)(g|u)
D'où 2(f|g) <= 4(f|u)(g|u)
Avec l'inégalité qui précède, ceci impose (f|s(f)) = (g|s(g)) = 0
et que le cas d'égalité soit respecté dans toutes les inégalités qu'on a vues passer.
En particulier, (f|g) = ||f|| ||g||, donc f et g ne sont pas linéairement indépendants.

Ainsi, e ne peut pas s'écrire comme somme de deux vecteurs de O linéairement indépendants.
En particulier, pour que u soit somme de deux éléments de N, il faut que ceux-ci, envoient O sur Vect(e). O contient une base de E, donc il faut que ces deux éléments aient Vect(e) pour image, et ils sont alors linéairement liés à u.
Donc u est un endomorphisme extrémal.

Réciproquement, on peut montrer que si l'image de u n'est pas sur le bord du demi-cône, il ne sera pas extrémal, en raisonnant un peu de la même manière mais j'ai grave la flemme.

Bref, c'est pas infaisable avec le programme de prépa actuel mais c'est quand même un exo difficile, je pense.
Et j'ai pas regardé les autres questions.

T'es qui toi ?

Un ex-taupin qui se faisait chier

ça doit être sympa d'être assez intelligent pour comprendre ce genre de trucs go Finance les mecs

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