J'ai enfin trouvé une solution à mon problème, je la mets ici au cas où d'autres personnes auraient le même problème.
Pour rappel, mon problème était que lancer FF7 SYW via Steam et un Steam Link faisait perdre la manette à l'écran titre (plantage de JoyToKey).
La solution est d'installer un portage gratuit de VirtualHere sur le Steam Link (https://steamcommunity.com/app/353380/discussions/1/2549465882922214788/)
Il faut mettre le fichier tgz (tel quel) sur une clé USB en FAT32, dans un répertoire steamlink\apps, mettre la clé USB dans le Steam Link, le débrancher du secteur et le rebrancher. Ça va installer l'outil VirtualHere dessus. Puis récupérer le client VirtualHere sur le site officiel (gratuit).
Il faut ensuite modifier, sur le Steam Link, le démarrage pour le mettre en démarrage sur le bureau. Ça se fait dès l'écran de départ (avant de sélectionner son PC), il faut aller dans les Réglages -> Streaming -> Paramètres avancés.
Ensuite, il faut se connecter au PC comme d'habitude avec le Steam Link.
Puis, sur le PC, lancer le client VirtualHere téléchargé précédemment. Il va alors voir le Steam Link et la manette connectée dessus. Il faut faire un clic droit sur la manette et choisir de l'utiliser (première option du menu).
Enfin, lancer FF7 SYW sur le PC (de façon classique, pas par Steam), configurer la manette et c'est parti 
En espérant que ça serve à certains.