Je pige pas sur cet exemple :

on dit que la continuité est une propriété locale car pour qu'une fonction soit continue sur un intervalle I, il faut qu'elle soit continue en tout point de I.
mais alors, c'est aussi une propriété globale ?

merci de m'éclairer

Je pense pas qu'il y ait des definitions precises de la choses, mais disons juste qu'une propriété est locale quand tu ne dois pas voir ce que la fonction fait loin du point qui t'interesse.

La convexité est une propriété globale par exemple je pense

Être croissant/décroissant, être majoré/minoré, avoir un maximum/minimum.
Être une fonction polynimiale.
Être T-périodique.
Ce sont des propriétés globales.

et des propriété locales ?

Être dérivable en un point
Être continu en un point

la continuité est une propriété globale ou locale, dès lors ?

Etre continue en un point = propriété locale
Être continue sur un intervalle = propriété globale

et la continuité toute seule ?

Pour la continuité en particulier, la réponse est : ça dépend.

La continuité EN UN POINT, c'est local.

La continuité SUR UN INTERVALLE, c'est global.

Il existe des fonctions continues en seulement un point.

Par exemple, la fonction qui à x associe x1_Q(x) où 1_Q(x) = 1 si x est rationnel, et 0 sinon n'est continue qu'en 0 mais nulle part ailleurs.

D'autres notions sont uniquement globales, par exemple la croissance, la convexité... On est toujours croissant sur intervalle, on est toujours convexe sur un intervalle. Ça n'aurait aucun sens d'être croissant en un point, ou convexe en un point (enfin techniquement si, toutes les fonctions réelles le sont en l'occurrence mais c'est justement pour cette raison que ce n'a aucun sens de considérer la chose)

Et d'autres priorités sont uniquement locales. Par exemple, être un o(x^2) en 0 (si tu as vu les développements limités, sinon tu les verras bientôt) c'est une priorité locale et non globale.

Et on peut pas être continue "tout court". Si tu dis à l'oral qu'une fonction est continue "tout court", à vrai dire tu sous-entends qu'elle est continue sur tout son ensemble de définition. Donc là ce serait plutôt une continuité globale.

La continuité SUR UN INTERVALLE, c'est global.

Bon c'est juste une question de vocabulaire mais j'appellerais quand même ça une propriété locale perso, puisqu'elle est définie point par point. Par contre la continuité uniforme serait une propriété vraiment globale