J'ai un DM a rendre et l'exo 4 me pose souci. J'patauge depuis des heures. J'ai trouvé une preuve dans le gourdon d'analyse, mais il utilise le théoreme de Baire qui est hors programme.
Si quelqu'un aurait quelques pistons pour m'aider

Soit eps > 0, il faut montrer que il existe x_0>0 tel que |f(x)| < eps pour tout x > x_0.

la je te donne un peu la piste, pour te montrer comment j'ai fait au brouillon :

l'hypothèse de l'énoncé est vraie pour tout x, voyons ce que ça donne pour x = 1.
il existe n_0 dans N tel que |f(n)|<eps pour tout n>n_0

Donc ça c'est très bien mais le problème c'est qu'on espère que pour x entre les n, |f(x)| reste plus petit que epsilon ou 2*epsilon. pour avoir ça on pourrait utiliser l'égalité triangulaire. Si x est entre n et n+1, alors |f(x)| <= |f(x) - f(n)| + |f(n)| <= |f(x) - f(n)| + eps. On voit donc qu'on espère de la régularité sur f.

l'hypothèse de régularité dit il existe eta>0 tel que si |x-y| < eta, alors |f(x) - f(y)| < eps .
Et donc si le x de tout à l'heure vérifie |x-n| < eta alors on est bon. Mais le problème c'est que le x de tout à l'heure ne vérifie pas forcément |x-n| < eta ! on sait juste |x-n| < 1 puisque n <= x < n+1.

et donc là on voit que pour résoudre ce problème il suffit de reprendre l'hypothèse de l'énoncé mais de spécialiser pour x=eta.

il existe donc n_0 dans N tel que |f(eta*n)| < eps pour tout n > n_0. Et maintenant on peut bien appliquer l'unif continuité entre les eta*n et eta*(n+1)

le truc de avec le théorème de baire j'imagine que c'est si on ne suppose que la continuité et pas l'uniforme continuité de la fonction

Soit epsilon > 0, delta > 0 tel que |f(x)-f(y)|< epsilon/2 si |x-y|<delta, n0 un entier tel que |f(n delta)|<epsilon/2 pour tout entier n >= n0, soit x>n0 delta , puis n la partie entière de x/delta, ainsi n >= n0 et |x-n delta|<delta, donc
|f(x)|<= |f(x)-f(n delta)| + |f(n delta)| < epsilon/2 + epsilon/2

Le 08 décembre 2023 à 20:55:40 csamy81 a écrit :
le truc de avec le théorème de baire j'imagine que c'est si on ne suppose que la continuité et pas l'uniforme continuité de la fonction

exact l'hypothese c'est uniquement continue et pas uniformement

Merci pour vos réponses ! J'devrais pouvoir m'en sortir