Bonjour à tous, j'ai un problème que je n'arrive pas à résoudre:

"On considère f une fonction continue sur R telle que pour tout x réel, f(x)=[f(x)]²
Montrer que f est constante sur R."

Mes recherches:
f(x)=f(x)² ssi f(x) = 0 ou f(x) = 1

Supposons par l'absurde que f n'est pas constante. Alors il existe deux réels distincts x et y tels que f(x) = 0 et f(y)=1.
Puisque f est continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k dans [0;1], il existe au moins un réel c dans ]x;y[ tel que f(c) = k.

Et là je bloque... Je n'arrive pas à obtenir ma contradiction... k² = k donc k=1 ou k=0 et ????

Merci de votre aide
Cordialement

Une fonction continu correspond a quoi? Ensuite utilise ce que te dis l’énoncé sur la propriété de f. (Je vais commencer un peu)

Pour une fonction f continu dans R nous savons que
Pour tout x appartenant a R : f(x) = (f(x))^2 ... (Bien dire que f est continu)
Nous concluons f correspond a la fonction constante ( ... ou ... )

(Ensuite on verra pour la rédaction)

Nous savons que.... elle est continue en tout point de R ? Je ne comprends pas où vous voulez en venir

Tout point n'admet qu'une seule image ?

Le 19 novembre 2023 à 14:27:41 :
Une fonction continu correspond a quoi? Ensuite utilise ce que te dis l’énoncé sur la propriété de f. (Je vais commencer un peu)

Pour une fonction f continu dans R nous savons que
Pour tout x appartenant a R : f(x) = (f(x))^2 ... (Bien dire que f est continu)
Nous concluons f correspond a la fonction constante ( ... ou ... )

(Ensuite on verra pour la rédaction)

merci pour ton post qui n'apporte rien,

l'auteur, tu vois que quelque chose est vrai pour n'importe quel k dans [0,1]. En particulier, c'est vrai pour k=1/2. à partir de là tu peux continuer.

Ah bin oui !!! puisque c'est vrai pour tout k dans [0,1] c'est vrai pour k=1/2, et donc l'équation f(c)=1/2 admet au moins une solution
mais comme f(c) = f(c)^2 alors 1/2=1/4 ce qui est absurde. Donc f est constante !

Merci beaucoup je n''étais pas si loin...

Sinon en réfléchissant, je me suis dis que puisque f(x) ne peut pas être égal à 0 et à 1 simultanément puisque f est continue et qu'un nombre par une fonction continue n'a qu'une seule image, alors c'est l'un ou l'autre, et dans les deux casn f est constante...

Mais je préfère 100 fois un beau raisonnement par l'absurde bien mené.

Merci encore pour m'avoir fait repéré le quantificateur qui fait tout !

Sinon en réfléchissant, je me suis dis que puisque f(x) ne peut pas être égal à 0 et à 1 simultanément puisque f est continue et qu'un nombre par une fonction continue n'a qu'une seule image, alors c'est l'un ou l'autre, et dans les deux casn f est constante...

N'importe quelle fonction n'a qu'une seule image ; ce qui marche par contre, c'est de dire que par continuité, f(x) ne peut pas sauter de 0 à 1 (ou de 1 à 0) en faisant varier x. Donc ou bien f(x)=0 pour tout x, ou bien f(x)=1 pour tout x. C'est peut être ce que tu voulais dire ?