Salut

J'essaie de démontrer que si X est séparé et tout point de X possède un voisinage compact, alors X est localement compact.

J'ai essayé de prendre un voisinage quelconque V d'un point x de X et de prendre K le voisinage compact de ce point X. J'essaie de créer un voisinage compact inclus dans V qui marcherait, mais je n'y arrive pas, si vous avez des pistes s'il vous plait

Je comprends peut etre mal et mes cours de topo remontent a loin, mais je vois pas ce que t'essaies de prouver

Localement compact c est pas justement séparé + voisinagr compact ?

Ah oui désolé j'aurai du préciser, je cherche à montrer que si pour tout x dans X séparé j'ai un voisinage compact, alors x possède une base de voisinages compact

J'ai vu que certains prennent la base de voisinages compact comme définitione et c'est cette équivalence que j'arrive pas à démontré

Soit O un voisinage ouvert d'un point x. On prend N un voisinage compact de x (il en existe par hypothèse). On pose Q = N \ O. Il s'agit d'un compact qui ne contient pas x. Par séparation, Q est recouvert par les ouverts U pour lesquels il existe un ouvert V disjoint de U et contenant x.

La propriété de Borel-Lebesgue permet d'en extraire un sous-recouvrement fini U_1, ... , U_r. On choisit des ouverts V_1 , ... , V_r qui vont avec. Alors, en posant V = Adh(N n V_1 n ... n V_r) on obtient un voisinage compact de x inclus dans O.

Ça montre bien que les voisinages compacts de x constituent une base de voisinages de x.

Et si X n'est plus séparé mais seulement T1