Salut,

J'ai du mal à comprendre l'exercice de dénombre suivant :
"Un clavier de 9 touches (6 chiffres et 3 lettres) permet de composer le code d’entrée d’un immeuble, à l’aide d’une lettre suivie d’un nombre de 3 chiffres distincts ou non.
Combien y a-t-il de codes comportant au moins deux chiffres identiques ?"

Je sais qu'on peut résoudre cet exercice en calculant le nombre de code différents (648) et en soustrayant le nombre de code comportant des chiffres distincts (360) pour une réponse finale de 288 possibilités.

Ma question est de savoir comment faire pour calculer directement ce résultat de 288 sans passer par le contraire (648-360) ?
Je me suis dis que si je prends 2 chiffres identiques, par exemples 1 et 1, je peux les placer de 3 manières différentes sur les cases des chiffres, puis sur la dernière case j'ai 6 possibilités, soit 6x3=18 possibilités.
Or le cas avec 1 et 1 se reproduit avec 2 et 2, 3 et 3, ..., 6 et 6, donc je multiplie 18 par 6 et je trouve 108 possibilités différentes.
Enfin je sais qu'on a 3 lettres différentes, donc je fais 3 x 108 et je trouve 324 possibilités, or je devrais en trouver 288.

Où est l'erreur dans mon raisonnement ?

Salut,

C'est parce que tu comptes les codes avec trois chiffres identiques plusieurs fois.
Quand tu places tes deux 1, il y a certes 6 possibilités pour le dernier chiffre, mais en multipliant ces 6 possibilités par B(3,2) = 3, tu comptes trois fois le code 111 au lieu d'une seule, et en multipliant encore par trois pour tenir compte de la lettre, tu comptes neuf fois les codes de la forme a111, au lieu de trois fois, soit six codes supplémentaires redondants.
Plus généralement tu comptes six codes redondants de la forme a111,a222,...,a666, donc 6*6 = 36 codes redondants.
324-36 = 288

Le 03 novembre 2023 à 18:10:11 :
Salut,

C'est parce que tu comptes les codes avec trois chiffres identiques plusieurs fois.
Quand tu places tes deux 1, il y a certes 6 possibilités pour le dernier chiffre, mais en multipliant ces 6 possibilités par B(3,2) = 3, tu comptes trois fois le code 111 au lieu d'une seule, et en multipliant encore par trois pour tenir compte de la lettre, tu comptes neuf fois les codes de la forme a111, au lieu de trois fois, soit six codes supplémentaires redondants.
Plus généralement tu comptes six codes redondants de la forme a111,a222,...,a666, donc 6*6 = 36 codes redondants.
324-36 = 288

Merci pour ton aide, je viens de comprendre