Bonjour, une question qui me heurte l'esprit depuis tout à l'heure : est-ce que R^n est un F2-espace vectoriel ?
Par F2 j'entends le corps à deux élements (Z/2Z).
Formellement j'ai l'impression que oui car F2 est un sous-corps de R donc les axiomes qui font de R^n un e.v sont toujours vérifiés, mais mon intuition a du mal à l'accepter

En fait plus généralement, est-ce que si E est un K-ev et que K' est un sous-corps de K, alors E est un K'-ev ?

F2 n'est pas un sous corps de R car 1 + 1 ne peut pas faire 0 dans R (en général, un corps finis ne peut pas être un sous corps de R avec ce même argument)

Le 30 mars 2023 à 19:21:46 :
En fait plus généralement, est-ce que si E est un K-ev et que K' est un sous-corps de K, alors E est un K'-ev ?

Oui bien sûr, ta multiplication externe qui donne ton ev est définie sur K donc sur K' aussi.

Ah oui 1 +(F2) 1 = 0 dans F2, mais 1 +(R) 1 = 2, donc F2 muni des lois induites par R n'est plus stable, donc c'est pas un sous-corps de R

Mais par contre R^n est bien un F2-ev car la multiplication externe de R sur R^n convient aussi avec F2 à la place de R, c'est ça ?

si tu prends x = (1 1 1 ... 1) élément de R^n alors (0 0 .. 0 0 0)= 0*x = (1+1)*x = 1*x + 1*x = x + x =(2 2 2 .. 2) donc tu as certainement pas une structure d'ev sur F2

Le 30 mars 2023 à 21:21:16 :
si tu prends x = (1 1 1 ... 1) élément de R^n alors (0 0 .. 0 0 0)= 0*x = (1+1)*x = 1*x + 1*x = x + x =(2 2 2 .. 2) donc tu as certainement pas une structure d'ev sur F2

Ah oui bruh... t'as des exemples de F2-ev un peu particuliers (pas comme (F2)^n ou Mn,p(F2)) ?

Tu ne peux pas voir R^n (avec sa structure usuelle) comme un espace vectoriel sur F_2 (car R est de caractéristique nulle). Par contre, tu peux mettre en bijection R avec le F_2-espace vectoriel des fonctions de N dans F_2 puis transporter la structure (ça ne sert à rien, mais c'est possible).

Le 31 mars 2023 à 00:06:42 :
Tu ne peux pas voir R^n (avec sa structure usuelle) comme un espace vectoriel sur F_2 (car R est de caractéristique nulle). Par contre, tu peux mettre en bijection R avec le F_2-espace vectoriel des fonctions de N dans F_2 puis transporter la structure (ça ne sert à rien, mais c'est possible).

merci !