JVC m'empêche de poster (sûrement à cause de caractères spéciaux que j'ai copié collé) donc voici un screen de mon post

Le post est sûrement un peu brouillon mais merci de votre aide

En gros si je comprends bien la preuve, on montre que si on prend un nombre a irrationnel quelconque, pour tout epsilon, les rationnels tels que f(x) > epsilon au voisinage de a (dans un intervalle) ne sont pas infinis et se situent à une distance finie de a ? Dès lors tout x qui se rapproche autant que l'on veut de "a" est soit irrationnel, soit un rationnel x tel que f(x) =< epsilon ?

Pour répondre à la dernière question de ton screen : oui, dans tout voisinage d'un irrationnel il y a des rationnels. Mais la plupart d'entre eux vont avoir un dénominateur gigantesque et donc f prendra des valeurs suffisamment proches de 0.

Globalement t'as l'air d'avoir compris la preuve, le seul truc qui te manque c'est pourquoi Ae est fini. Combien y a-t-il de rationnels dans [0,1] dont le dénominateur est inférieur à 37 ? C'est un peu pénible d'écrire la preuve proprement mais je pense que tu vois bien qu'on peut les lister et qu'il y en a un nombre fini. Ton truc c'est la même chose avec des noms de variable en plus

Le 14 février 2023 à 10:08:47 :
Pour répondre à la dernière question de ton screen : oui, dans tout voisinage d'un irrationnel il y a des rationnels. Mais la plupart d'entre eux vont avoir un dénominateur gigantesque et donc f prendra des valeurs suffisamment proches de 0.

Globalement t'as l'air d'avoir compris la preuve, le seul truc qui te manque c'est pourquoi Ae est fini. Combien y a-t-il de rationnels dans [0,1] dont le dénominateur est inférieur à 37 ? C'est un peu pénible d'écrire la preuve proprement mais je pense que tu vois bien qu'on peut les lister et qu'il y en a un nombre fini. Ton truc c'est la même chose avec des noms de variable en plus

Ah oui en fait j'étais parti du principe que pour un q =< 1/epsilon, il y avait une infinité de numérateur p premier avec q et donc que Ae n'était pas fini. Sauf qu'ils doivent se situer dans un intervalle donné donc sont finis. Par exemple, si je prends un p/q avec q impair et |a-p/q|>1/2 qui appartient à cet intervalle, 2p/q n'appartient pas à cet intervalle quel que soit a, et pourtant p/q et 2p/q ont le même dénominateur.

Ok. Donc puisque Ae est fini, il contient un élément x qui est le plus proche de a, en gros l'ensemble F {y € F, y= |x-a| avec x € Ae} est borné puisqu'il contient un plus petit élément et un plus grand élément comme Ae (on fait juste une translation en soustrayant a). C'est bien cela ?

Notons y' ce plus petit élément de F, on prend un ñ < y'. Par exemple ñ = y'/2. A partir de là, si |x-a| < y', alors x n'appartient pas à Ae et donc f(x) =< epsilon.

Mais ça continue de me perturber. L'interprétation de ce résultat comme tu dis c'est qu'au voisinage d'un irrationnel, les rationnels ont un dénominateur tellements grand (puisque supérieurs à 1/epsilon) que leurs images tendent vers 0 et donc qu'à des x très voisins correspondent des y très voisins (définition intuitive de la continuité).
Mais pourtant nous partions du principe que dans le voisinage de chaque rationnel (qu'il ait un très grand dénominateur ou non), se situait un irrationnel. Là on a une distribution inégale des rationnels avec au voisinage de chaque irrationnel des rationnels dont le dénominateur est aussi grand que l'on veut. Mais alors où se trouvent les autres rationnels puisqu'il y a des irrationnels partout dans chaque intervalle ?

Malgré la preuve je n'arrive pas à intuiter le truc

Je comprends pas vraiment ton problème, mais si ca peut t'aider il faut savoir qu'il y a beaucoup plus d'irrationnels que de rationnels (Q est denombrable, R\Q ne l'est pas), donc l'asymetrie vient de la.

Le 14 février 2023 à 13:07:40 :
Je comprends pas vraiment ton problème, mais si ca peut t'aider il faut savoir qu'il y a beaucoup plus d'irrationnels que de rationnels (Q est denombrable, R\Q ne l'est pas), donc l'asymetrie vient de la.

De la non-équivalence entre "présence d'irrationnel au voisinage de n'importe quel rationnel" et "présence de rationnels avec un dénominateur non immensément grand au voisinage de certains irrationnels"

La première est juste, la seconde est fausse. Pourtant les deux me semblent équivalentes quand je les lis

C'est peut être l'expression "au voisinage" qui te prête à confusion. On dirait que tu penses que si x est au voisinage de y, alors y est au voisinage de x. Ça marche pas vraiment comme ça.

L'expression "au voisinage" cache un quantificateur, ce qu'on veut dire c'est "dans tout voisinage d'un rationnel, il y a un irrationnel". Prends 1/2, et prends n'importe quel voisinage aussi petit que tu veux, disons ]1/2-0.0001, 1/2+0.0001[. Il y a bien des rationnels dans cet intervalle, disons par exemple x.

Par contre 1/2 ne se trouve pas dans tout voisinage de x. Si on prend un intervalle suffisamment petit autour de x, il ne contiendra pas 1/2. En fait quel que soit l'entier q aussi grand qu'on veut, il existera toujours un voisinage de x qui ne contient que des rationnels dont le dénominateur est >q.

En fait on peut reformuler ton exo comme ça : si on a une suite de rationnels qui tend vers un irrationnel, leur dénominateur tend vers l'infini.

pour une comprehension plus topologiquement intuitive de ce genre de fonction cela me rappel une discussion que j'avais eu en mp avec jacana il faut probablement considerer une suite "decroissante" (on se comprend) de recouvrement d'ouverts de Q de taille tendant vers 0 (la taille du recouvrement qui tend vers 0) et considerer une limite de fonction dont la derniere s'obtient de la precedante en modifiant la precedante sur la difference ensembliste de l'union de notre precedant ensemble d'ouvert et de notre ensemble d'ouvert actuel.

Si l'op ne comprend pas cela qu'il reflechisse juste au fait qu'il existe des ouverts aussi "petit" que l'on veut contenant Q (et qu'il essaye de construire cela ), l'existence de telle fonction contre intuitive decoule d'apres moi et l'esquisse de construction precedante de ce fait lui meme contre intuitif, mais tout de meme plus facilement visualisable quand on a la construction sous les yeux.

Le 14 février 2023 à 16:41:26 :
C'est peut être l'expression "au voisinage" qui te prête à confusion. On dirait que tu penses que si x est au voisinage de y, alors y est au voisinage de x. Ça marche pas vraiment comme ça.

C'est ce que je pensais. J'avais mal maitrîsé cette notion de voisinage.

L'expression "au voisinage" cache un quantificateur, ce qu'on veut dire c'est "dans tout voisinage d'un rationnel, il y a un irrationnel". Prends 1/2, et prends n'importe quel voisinage aussi petit que tu veux, disons ]1/2-0.0001, 1/2+0.0001[. Il y a bien des rationnels dans cet intervalle, disons par exemple x.

Par contre 1/2 ne se trouve pas dans tout voisinage de x. Si on prend un intervalle suffisamment petit autour de x, il ne contiendra pas 1/2. En fait quel que soit l'entier q aussi grand qu'on veut, il existera toujours un voisinage de x qui ne contient que des rationnels dont le dénominateur est >q.

Donc un voisinage d'un rationnel, prenons 1/2, est un intervalle ouvert qui comprend 1/2. Ensuite, si on fixe un epsilon (è) > 0, cet intervalle comprend trois types de réels : les rationnels tel que le dénominateur est supérieur à 1/è, les rationnels tel que le dénominateur inférieur ou égal à 1/è, et les irrationnels. Et on prouve que pour tout irrationnel x au voisinage de 1/2, il existe un voisinage de x qui ne comprend pas 1/2, aussi proche soit x de 1/2 (car 1/2 est un rationnel dont le dénominateur est inférieur à 1/è et qu'on peut donc toujours inclure x dans un intervalle plus petit qui ne comprend que des rationnels dont le dénominateur est supérieur à 1/è. Et on peut réitérer ce processus autant de fois que l'on veut en raccourcissant toujours plus l'intervalle ouvert qui comprend x en prenant un è de plus en petit). C'est bien cela ?

En fait on peut reformuler ton exo comme ça : si on a une suite de rationnels qui tend vers un irrationnel, leur dénominateur tend vers l'infini.

Oui c'est une autre reformulation de ce que j'écris plus haut. Puisque si une suite un de rationnel tend vers un irrationnel x, alors quel que soit è > 0, il existe un N € |N tel que quel que soit n >= N, |un-x| =< è. Or si q ne tend pas vers l'infini, donc est inférieur à un entier r, à partir d'un certain rang N, alors il existe un réel è tel que |p/q-x| >= è quel que soit n>= N. Donc il existe è/2 tel que quel soit N € |N, il existe un n>= N, |p/q-x| > è/2 et p/q ne tend pas vers un irrationnel.

Le 15 février 2023 à 02:40:37 :
pour une comprehension plus topologiquement intuitive de ce genre de fonction cela me rappel une discussion que j'avais eu en mp avec jacana il faut probablement considerer une suite "decroissante" (on se comprend) de recouvrement d'ouverts de Q de taille tendant vers 0 (la taille du recouvrement qui tend vers 0)

Décroissante au sens de l'inclusion ?

et considerer une limite de fonction dont la derniere s'obtient de la precedante en modifiant la precedante sur la difference ensembliste de l'union de notre precedant ensemble d'ouvert et de notre ensemble d'ouvert actuel.

Pas compris par contre

Si l'op ne comprend pas cela qu'il reflechisse juste au fait qu'il existe des ouverts aussi "petit" que l'on veut contenant Q (et qu'il essaye de construire cela )

, l'existence de telle fonction contre intuitive decoule d'apres moi et l'esquisse de construction precedante de ce fait lui meme contre intuitif, mais tout de meme plus facilement visualisable quand on a la construction sous les yeux.

Le 17 février 2023 à 01:33:28 :

Le 15 février 2023 à 02:40:37 :
pour une comprehension plus topologiquement intuitive de ce genre de fonction cela me rappel une discussion que j'avais eu en mp avec jacana il faut probablement considerer une suite "decroissante" (on se comprend) de recouvrement d'ouverts de Q de taille tendant vers 0 (la taille du recouvrement qui tend vers 0)

Décroissante au sens de l'inclusion ?

non decroissante au sens le kieme ouvert de Sn est dans le kieme ouvert de S_n+1

et considerer une limite de fonction dont la derniere s'obtient de la precedante en modifiant la precedante sur la difference ensembliste de l'union de notre precedant ensemble d'ouvert et de notre ensemble d'ouvert actuel.

Pas compris par contre

l'idee de base c'etait de prendre des approximations de R/Q (les complementaires des petits ouverts contenant Q) de plus en plus fine et de rendre une fonction continue sur ses approximations et discontinue ailleur et de prendre la fonction limite, mais ca a pas l'air de marcher, du moins apres un peu de reflexion j'ai du mal a finaliser le truc

j'ai aussi test en prenant comme suite d'approximation le complementaire des k premier ouverts du kieme recouvrement de Q (si on numerote q_i les rationels c'est l'union pour i allant de 1 a k de ]qi-2^k;qi+2^k[ ) mais nah toujours pas