Un avion possède 100 sièges, numérotés de 1 à 100

100 passagers, eux aussi numérotés de 1 à 100, embarquent dans l'ordre. Le passager numéro n est supposé s'installer dans le siège numéro n

Mais le passager 1 ne sait pas lire et choisit donc un siège au hasard
Chaque autre passager applique cette règle : si son siège est libre, il le prend, sinon il prend un siège au hasard parmi ceux restants

Quelle est la probabilité que le passager 100 soit assis à sa place ?

1/2? En gros ça fait une "chaîne" de passagers qui n'ont pas leur siège. Chacun de ces passagers doit donc choisir un siège au hasard. Si un passager prend une place au hasard entre 2 et 99 la chaîne continue. S'il choisit le siège 100 c'est terminé le 100eme n'aura pas son siège. S'il choisit le siège 1 la chaîne s'arrête et le passager 100 aura son siège.

Donc finalement le passager numéro 100 aura son siège si et seulement si le premier passager qui choisit au hasard dans l'ensemble {1,100} choisit le siège 1, ce qui arrive avec proba 1/2.

Et si le passager 1 prend le siege 2 et le 2 prend le siege 1 ?

Le 10 janvier 2023 à 16:38:22 LaChancIa a écrit :
1/2? En gros ça fait une "chaîne" de passagers qui n'ont pas leur siège. Chacun de ces passagers doit donc choisir un siège au hasard. Si un passager prend une place au hasard entre 2 et 99 la chaîne continue. S'il choisit le siège 100 c'est terminé le 100eme n'aura pas son siège. S'il choisit le siège 1 la chaîne s'arrête et le passager 100 aura son siège.

Donc finalement le passager numéro 100 aura son siège si et seulement si le premier passager qui choisit au hasard dans l'ensemble {1,100} choisit le siège 1, ce qui arrive avec proba 1/2.

Le 10 janvier 2023 à 19:19:22 the_ff3_fan a écrit :
Et si le passager 1 prend le siege 2 et le 2 prend le siege 1 ?

Alors tous les passagers seront à leur place, sauf 1 et 2 qui seront inversés
D'ailleurs le passager 1 peut même se retrouver à la bonne place par chance, et alors tous les passagers seront à leur place

Une autre preuve :

D'abord on montre que le passager 100 va forcément être assis à la place 100 ou à la place 1. En effet si une autre place k est vide au moment où le passager 100 arrive, elle était déjà vide au moment où le passager k est arrivé, auquel cas celui-ci se serait assis à sa place.

Ensuite on montre qu'il y a autant de configurations finales de l'avion où le passager 100 est en place 100 (type A), que de configuration où le passager 100 est en place 1 (type B). Pour ça, on prend n'importe quelle configuration de type A, et on échange les passagers assis aux places 1 et 100. Ça donne une configuration de type B. On vérifie facilement que c'est bien une configuration valide, et que ça donne une bijection entre les types A et B.

Conclusion : proba 1/2

Le 11 janvier 2023 à 06:10:07 Jacana a écrit :
Une autre preuve :

D'abord on montre que le passager 100 va forcément être assis à la place 100 ou à la place 1. En effet si une autre place k est vide au moment où le passager 100 arrive, elle était déjà vide au moment où le passager k est arrivé, auquel cas celui-ci se serait assis à sa place.

Ensuite on montre qu'il y a autant de configurations finales de l'avion où le passager 100 est en place 100 (type A), que de configuration où le passager 100 est en place 1 (type B). Pour ça, on prend n'importe quelle configuration de type A, et on échange les passagers assis aux places 1 et 100. Ça donne une configuration de type B. On vérifie facilement que c'est bien une configuration valide, et que ça donne une bijection entre les types A et B.

Conclusion : proba 1/2

Pas mal

J essayais juste de dire que la preuve était fausse, parce que mon vdd disait ca :

Donc finalement le passager numéro 100 aura son siège si et seulement si le premier passager qui choisit au hasard dans l'ensemble {1,100} choisit le siège 1, ce qui arrive avec proba 1/2.

La condition est suffisante mais loin d'être nécessaire. D'ailleurs l'événement qu il decrit arrive avec proba 1/100 et non 1/2, donc j'ai plutôt l'impression qu'il a eu la bonne réponse par un heureux accident

T'as mal lu sa phrase, il parle du "premier passager qui [...]", pas du passager numéro 1. Et c'est bien l'ensemble {1,100} à deux éléments, pas l'intervalle [[1,100]]. En gros on ignore tous les passagers qui ne choisissent ni 1 ni 100 puisqu'ils ne font que continuer la chaîne. Et à chaque étape choisir le siège 1 ou le siège 100 sont deux événements equiprobables

Ah oui ma faute, désolé