Bonjour tout le monde,

Je cherche à dénombrer le nombre de combinaison de x nombres d’un ensemble N formant la somme S.

Exemple :
Ensemble N des nombres de 1 à 10
Je cherche la somme 11 avec 2 facteurs.
5 solutions : 1 - 10 ; 2 - 9 ; 3 - 8 ; 4 - 7 ; 5 - 6
Si je cherche ensuite la somme 22 avec 4 facteurs, je trouve les 15 combinaisons de ces 5 paires.

Ceci est un dénombrement « manuel », mais très vite quand on monte dans des plus grands ensembles N type 1->30 et qu’on cherche des combinaisons de 5,6 ou plus de facteurs la tâche devient vraiment hardue.

Connaitriez-vous une formule pour résoudre ce problème ?

In fine, ce que je cherche à calculer c’est la probabilité que les x éléments qu’on s’électionne dans l’ensemble aient la valeur moyenne des éléments de l’ensemble.
Ainsi les nombres de 1 à 10 forment la somme de 55 -> valeur moyenne de 5,5
Parmi les 45 paires possibles, 5 donnent la somme de 11 (5,5 de moyenne) --> probabilité= 1/9

Je cherche à déterminer si la probabilité de trouver des ensembles à valeur moyenne diminue ou augmente à mesure qu’on augmente la taille des ensembles.
Note : biensur si on ne cherche qu’une paire d’éléments l’estimation est relativement simple, je parle de combinaisons importantes de dizaines de facteurs.

En gros, est ce qu’il est plus probable de trouver 50 éléments de valeur moyenne dans 1->100 ou 500 élements de valeur moyenne dans 1->1000
Intuitivement j’aurais tendance à penser que les assemblages de bonnes combinaisons augmentent moins vite que le nombre total d’assemblage possible mais je soupçonne que je sous-estime l'ampleur des bonnes combinaisons.
Des avis ?

Merci d’avance !

Le 07 décembre 2022 à 15:31:40 :

Si je cherche ensuite la somme 22 avec 4 facteurs, je trouve les 15 combinaisons de ces 5 paires.

les 10*

Alors, si c'est indépendant etc alors tu peux t'en sortir avec des inegalités de concentration : par exemple des inégalités de Chernoff (qui te disent en gros que plus t augmentes les experiences aleatoires et plis tu te concentres vers la moyenne)

Par contre si tu veux repondre a ta question de base et avoir des estimations tres precises, tu peux essayer de t en sortir avec des etudes de suites, du genre u_(n,m) = le nombre de maniere de tomber sur n avec m entiers différents, et y a des relations de recurrences qui se forment.

C est interessant de noter que ce problème (enfin une variante ) a été très étudiée, et c'est pas évident, tu pourras ptet t'en inspirer : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Partition_d%27un_entier