J'ai une fonction f convexe quelconque et g une fonction dérivable sur I

Je suppose que la fonction définie pour tout t dans [0,1] par phi(t) = f(w(t)) + g(z(t)) est constante où w : [0,1] -> I est une fonction dérivable sur [0,1], z pareil

Donc t -> phi(t) est dérivable, phi'(t) = 0 pour tout t dans [0,1].

Comment exprimer phi'(t) en fonction de la somme de mes deux fonctions. Le souci c'est qu'on a aucune hypothèse sur f à part qu'elle est convexe donc je vois pas comment appliquer la règle de chaine ici

Tu connais les sous-gradients ?

J'imagine que pour tout t dans [0,1] existe u(t) un sous-gradient de f au point w(t) tel que w'(t)u(t) + g'(z(t))z'(t) = 0 = phi'(t)

Pour avoir ceci il suffirait d'avoir une règle de la chaine version sous-gradient à appliquer à la composée f(w(t)) mais je ne sais pas si c'est vrai.

Le 25 novembre 2022 à 16:36:23 :
Tu connais les sous-gradients ?

J'imagine que pour tout t dans [0,1] existe u(t) un sous-gradient de f au point w(t) tel que w'(t)u(t) + g'(z(t))z'(t) = 0 = phi'(t)

Pour avoir ceci il suffirait d'avoir une règle de la chaine version sous-gradient à appliquer à la composée f(w(t)) mais je ne sais pas si c'est vrai.

oui la notion de sous-différentielle je la connais, mais ça me parait vraiment bizarre de devoir aller jusqu'à là.
merci

Ta fonction phi n'est pas dérivable partout, vu que f est simplement convexe.
Ex : phi(t) = |t| + 0

Donc effectivement la seule chose que tu peux faire c'est dire que f est dérivable presque partout, et que partout elle a des dérivées directionnelles à gauche et à droite, et utiliser cela.