Bonjour je confond un peu ces 2 notions,
Si on prend une VAR X on dit que X est intégrable ssi E[|X|] <+00

Et ensuite on dit que X admet une esperance si X est L1 (i.e intégrable )

Je prends la VAR X tq PX << mue de densité f(x)= 1/2 si x appartient a ]0,1[, 1/(2x^2) si x est plus grand que 1 et 0 sinon

Je cherche à savoir si X est intégrable et si X admet une espérance

- Je vois que E[|X|]=E[X](car X >=0 mue-ps) et apres par calcul de l'intégrale je trouve que E[X]=+00
Donc X n'est pas intégrable

- J'aimerais dire que puisque que X n'est pas intégrable alors X n'admet pas d'esperance mais cette variable aléatoire admet bien un espérance je comprends pas pour le coup

On peut donner un sens à l'espérance d'une variable aléatoire positive : c'est son intégrale contre la mesure de probabilité. Mais cette quantité peut très bien être infinie !

Mais souvent, quand on dit « admettre une espérance » ça veut en fait dire « admettre une espérance finie ». Pour lever l’ambiguïté, on préférera dire que notre variable aléatoire est L^1 ou intégrable.

Le 15 novembre 2022 à 22:12:52 :
On peut donner un sens à l'espérance d'une variable aléatoire positive : c'est son intégrale contre la mesure de probabilité. Mais cette quantité peut très bien être infinie !

Mais souvent, quand on dit « admettre une espérance » ça veut en fait dire « admettre une espérance finie ». Pour lever l’ambiguïté, on préférera dire que notre variable aléatoire est L^1 ou intégrable.

Donc toute variable aleatoire positive admet forcement une espérance meme si cette derniere vaut l'infini mais c'est en contradiction avec la définition que j'ai donné plus haut ?

Donc dans ce cas là il faut considérer 2 cas c'est bien ça ?
Cas 1 : notre VA est positive => son esperance existe tout le temps (mais peut etre infinie dans ce cas là notre VA admet une espérance mais n'est pas intégrable)

Cas 2 : notre VA n'est pas positive => son espérance existe ssi notre VA est intégrable (et dans ce cas là elle est forcement finie)

Si je me souviens bien, il y a une différence entre posséder une intégrale et être intégrable. Toutes les v.a.r. positives possèdent une intégrale, qui peut potentiellement être la valeur +infinie. Une v.a.r positive est intégrable si cette valeur est finie.

Pour une v.a.r. X quelconque, elle est dite intégrable si la valeur absolue de cette v.a.r. |X| (qui est une var positive donc possède une intégrale) a une intégrale finie. Dans ce cas, elle possède une intégrale dont la valeur est donnée par : intégrale(X) = intégrale(X+) - intégrale(X-) (X+ est la partie positive et X- la partie négative de X)

Le 16 novembre 2022 à 16:00:03 :
Si je me souviens bien, il y a une différence entre posséder une intégrale et être intégrable. Toutes les v.a.r. positives possèdent une intégrale, qui peut potentiellement être la valeur +infinie. Une v.a.r positive est intégrable si cette valeur est finie.

Pour une v.a.r. X quelconque, elle est dite intégrable si la valeur absolue de cette v.a.r. |X| (qui est une var positive donc possède une intégrale) a une intégrale finie. Dans ce cas, elle possède une intégrale dont la valeur est donnée par : intégrale(X) = intégrale(X+) - intégrale(X-) (X+ est la partie positive et X- la partie négative de X)

La notion d'espérance est seulement définie pour les v.a.r. intégrables (càd appartenant à l'espace L1) (qu'elle soit positive ou non) et l'espérance est alors définie comme la valeur de cette intégrale, c'est donc toujours une quantité finie

Le 16 novembre 2022 à 16:07:44 :

Le 16 novembre 2022 à 16:00:03 :
Si je me souviens bien, il y a une différence entre posséder une intégrale et être intégrable. Toutes les v.a.r. positives possèdent une intégrale, qui peut potentiellement être la valeur +infinie. Une v.a.r positive est intégrable si cette valeur est finie.

Pour une v.a.r. X quelconque, elle est dite intégrable si la valeur absolue de cette v.a.r. |X| (qui est une var positive donc possède une intégrale) a une intégrale finie. Dans ce cas, elle possède une intégrale dont la valeur est donnée par : intégrale(X) = intégrale(X+) - intégrale(X-) (X+ est la partie positive et X- la partie négative de X)

La notion d'espérance est seulement définie pour les v.a.r. intégrables (càd appartenant à l'espace L1) (qu'elle soit positive ou non) et l'espérance est alors définie comme la valeur de cette intégrale, c'est donc toujours une quantité finie

Ton premier post est correct mais là je ne suis pas d'accord. Une VA positive possède toujours une espérance (éventuellement +infini).