Bonjour, j'ai du mal à comprendre la correction de cet exo :

P( |Tn - theta| > epsilon) = P( Tn > theta + epsilon) + P( Tn < theta - epsilon) = 0 + [F_U(theta - epsilon)]^n

Sachant que Tn = sup(U1,...,Un) = max(U1,...,Un)
Alors Tn ~ U([0,theta])
Donc je comprends pas pourquoi on rajoute le "puissance n" à la fonction de répartition

Si quelqu'un pouvait m'éclairer

Dire que T < t, ça revient à dire que toutes les U_i sont < t. Comme les U_i sont indépendantes et de même loi, ça donne

P[T < t] = P [U_1 < t , ... , U_n < t] = P[U_1 < t] ... P[U_n < t] = F(t)^n

où F est la fonction de répartition de la loi commune.

T_n < x ça revient à dire que chaque U_i < x
Donc l'événement T_n < x est l'événement intersection des U_i < x
Ces événements sont indépendants, donc la probabilité de T_n < x est le produit des proba de U_i<x, c'est à dire le produit de la fonction de répartition des U_i au point x.
Mais les U_i ont même loi, donc c'est la même fonction de répartition de U_1 que l'on multiplie par elle-même.

Alors Tn ~ U([0,theta])

Soit dit en passant, T ne suit pas une loi uniforme (si n=2,3,...)

Le 16 octobre 2022 à 18:17:27 :
Dire que T < t, ça revient à dire que toutes les U_i sont < t. Comme les U_i sont indépendantes et de même loi, ça donne

P[T < t] = P [U_1 < t , ... , U_n < t] = P[U_1 < t] ... P[U_n < t] = F(t)^n

où F est la fonction de répartition de la loi commune.

Le 16 octobre 2022 à 18:18:50 :
T_n < x ça revient à dire que chaque U_i < x
Donc l'événement T_n < x est l'événement intersection des U_i < x
Ces événements sont indépendants, donc la probabilité de T_n < x est le produit des proba de U_i<x, c'est à dire le produit de la fonction de répartition des U_i au point x.
Mais les U_i ont même loi, donc c'est la même fonction de répartition de U_1 que l'on multiplie par elle-même.

Ok merci pour vos réponses, j'ai compris

Le 16 octobre 2022 à 18:22:22 :

Alors Tn ~ U([0,theta])

Soit dit en passant, T ne suit pas une loi uniforme (si n=2,3,...)

Ah bon pourquoi ?

Si Tn = U_9 par exemple, alors U_9 suit la loi U([0,theta]), non ?

Et sinon y a t il une différence entre max(U1,...,Un) et sup(U1,...,Un) ?

Regarde la fonction de répartition... avec la puissance n ça aura du mal à être la fonction de répartition d'une loi uniforme. Même intuitivement, prendre le max dans un tirage uniforme, ça n'est pas uniforme du tout. Il suffit qu'une des valeurs tirées soit plus grande que les autres pour atteindre le max, donc c'est clairement pas équiprobable.

Si Tn = U_9 par exemple, alors U_9 suit la loi U([0,theta]), non ?

En fait, je pense que ton problème c'est que tu ne comprends pas réellement ce que représente une variable aléatoire.

Une variable aléatoire, c'est pas juste un nombre ! C'est plutôt une famille de nombres indexée par les observables de l'univers de l'expérience aléatoire. Ce que calcule la probabilité, c'est la fréquence d'attribution de ces valeurs.

Dans un cours de probabilité de licence, on définirait les variables aléatoires comme des fonctions mesurables définies sur un espace de probabilité. Mais l'idée est là, une variable aléatoire représente une collection de valeurs, ou dit autrement, c'est une fonction définie sur l'univers de l'expérience.

Quand tu écris T = max(U_1,...,U_n) ça ne veut pas dire qu'il existe un entier i tel que T = U_i. En réalité, c'est un maximum de fonctions ! La vraie retranscription c'est : pour toute observable x, il existe un entier i tel que T(x) = U_i(x). Ce qui est bien différent (le i dépend du x)

Après, pour te rassurer, moi aussi je ne comprenais pas bien ce qu'était une variable aléatoire avant de voir la formalisation rigoureuse (avec la théorie de la mesure, etc). L'enseignement des probabilités au collège/lycée est désastreux (sans vouloir offenser les enseignants bien sûr). Même sans entrer dans les détails techniques, dire qu'une variable aléatoire est une fonction permettrait d'éviter bien des écueils à mon avis (certains profs le font, d'autres non... mes profs n'ont jamais parlé de fonction, d'où l’ambiguïté derrière le concept de variable aléatoire qui m'a suivie jusqu'en licence).

J'ai eu un très bon prof de proba qui disait "en fait il n'y a rien de plus déterministe qu'une variable aléatoire".

Sinon effectivement les probas c'est pas du tout un truc facile (contrairement à ce qu'on pourrait penser), et encore plus difficile à enseigner. On a tendance à se fier à notre intuition alors que c'est souvent une mauvaise idée, et même des problèmes simples peuvent être difficiles à formaliser rigoureusement, comme en témoignent les nombreux "paradoxes" probabilistes.