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Sujet : Preuve Algèbre bête mais j'y arrive pas

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Sarazinade Sarazinade
MP
Niveau 6
24 septembre 2022 à 20:08:01

Yo !

Supposez X (nxn) symétrique et on definit la notation A : B = tr(A^TB) le produit de Frobenius de 2 matrices

Soit y un vecteur

Comment montrer que y^T X^{-1} y = yy^T : X ?

C'est ce qui est utilisé dans la réponse ici
https://math.stackexchange.com/questions/2992119/derivative-of-log-marginal-likelihood

the_ff3_fan the_ff3_fan
MP
Niveau 19
24 septembre 2022 à 22:12:31

Le 24 septembre 2022 à 20:08:01 :
Yo !

Supposez X (nxn) symétrique et on definit la notation A : B = tr(A^TB) le produit de Frobenius de 2 matrices

Soit y un vecteur

Comment montrer que y^T X^{-1} y = yy^T : X ?

C'est ce qui est utilisé dans la réponse ici
https://math.stackexchange.com/questions/2992119/derivative-of-log-marginal-likelihood

Euh t'es sûr ? si tu prends X = a*I_n alors y a un côté qui tend vers 0 et l'autre vers +inf quand a tend vers inf :hap:

Message édité le 24 septembre 2022 à 22:16:19 par the_ff3_fan
the_ff3_fan the_ff3_fan
MP
Niveau 19
24 septembre 2022 à 22:16:01

Bon j'ai lu la page et je pense que t'as juste oublié (ou pas remarqué :hap:) le -1.
Dans ce cas ça vient juste du fait que tr(AB) = tr(BA) :noel:

Sarazinade Sarazinade
MP
Niveau 6
25 septembre 2022 à 05:57:35

attends c'est pas tr(A^TB) = tr(B^TA) ? et tu peux permuter les vecteurs ? Je pensais que c'était que les matrices carrées

Sarazinade Sarazinade
MP
Niveau 6
25 septembre 2022 à 06:01:53

Du coup on aurait tr(y^TXy) = tr(yy^TX) = yy^T : X ? (Si j'omets le ^-1 par simplicité )

protokj protokj
MP
Niveau 14
25 septembre 2022 à 12:11:05

[06:01:53] <Sarazinade>
Du coup on aurait tr(y^TXy) = tr(yy^TX) = yy^T : X ? (Si j'omets le ^-1 par simplicité )

Oui

Message édité le 25 septembre 2022 à 12:11:18 par protokj
the_ff3_fan the_ff3_fan
MP
Niveau 19
25 septembre 2022 à 13:52:42

Le 25 septembre 2022 à 05:57:35 :
attends c'est pas tr(A^TB) = tr(B^TA) ? et tu peux permuter les vecteurs ? Je pensais que c'était que les matrices carrées

Non, enfin ça aussi c'est vrai, mais ça vient surtout du fait que Tr(M) = Tr(M^T), c'est une autre propriété de la trace, ce que je te dis n'a rien a voir :hap:

Sarazinade Sarazinade
MP
Niveau 6
26 septembre 2022 à 00:30:47

Mais du coup si on a z de dimension nxm , X de dimension mxp et y de dimension pxq alors on a clairement pas tr(zXy) = tr(yzX) suffit de regarder les dimensions de yzX. C'est quoi qui justifie que tr(y^TXy) = tr(yy^TX) ?

J'arrive pas à voir ce qui est A et B dans ton tr(AB) = tr(BA)

protokj protokj
MP
Niveau 14
26 septembre 2022 à 02:46:08

[00:30:47] <Sarazinade>
Mais du coup si on a z de dimension nxm , X de dimension mxp et y de dimension pxq alors on a clairement pas tr(zXy) = tr(yzX) suffit de regarder les dimensions de yzX. C'est quoi qui justifie que tr(y^TXy) = tr(yy^TX) ?

J'arrive pas à voir ce qui est A et B dans ton tr(AB) = tr(BA)

Dans ton exemple il faudrait que y soit de dim (p,n), car pour avoir tr(AB)=tr(BA) il faut que A soit de dim (n,p) et B soit de dim (p,n)

A=y^TX est de dim (1,n), B=y est de dim (n,1)

Sarazinade Sarazinade
MP
Niveau 6
26 septembre 2022 à 05:26:28

Aaaah oko kok ok ok o ko k ok ok ko ok ko ok ok ok ko ben oui la trace c'est sur une matrice carrée donc mon exemple marche pas, merci beaucoup l'ami je vois plus clair, j'avais fait un blocage

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