Salut, je ne comprends pas trop une proposition sur les matrices semblables.

"Si A et B sont semblables alors B est la matrice de l'AL canoniquement associée à A dans une certaine base" ,

-> pourtant on peut très bien dire que A représente une certaine AL f dans une base X, et que B représente f dans une base Y sans que X et Y soient la base canonique de R^n

Certes mais ici f est précisément défini comme l'endomorphisme de R^n dont A est la matrice dans la base canonique de R^n.

Le 29 juillet 2022 à 10:28:40 :
Certes mais ici f est précisément défini comme l'endomorphisme de R^n dont A est la matrice dans la base canonique de R^n.

Pourquoi ?
La matrice A peut représenter plusieurs AL du moment que j'ai pas précisé les bases non ?

Bien sûr, mais ce que dit cette proposition est :
"si les matrices A et B sont semblables, notons f l'endomorphisme de R^n dont la matrice dans la base canonique de R^n est A, alors : il existe une base b de R^n telle que la matrice de f dans la base b soit la matrice B."
(La réciproque est d'ailleurs vraie.)

Je vais y réfléchir, ca me semble un peu flou, merci en tous cas.

Une matrice carrée donnée peut représenter plusieurs endomorphismes. Par exemple, une matrice A peut représenter l'endomorphisme a(x) = Ax dans la base canonique de R^n. Mais si je prends une autre base de R^n, et que je forme sa matrice P, alors A représente également l'endomorphisme b(x) = Bx avec B = PAP^(-1) mais cette fois dans l'autre base considérée.

En d'autres termes, la matrice d'un endomorphisme est unique modulo les changements de coordonnées, c'est-à-dire modulo la relation de similitude. C'est pour ça qu'on parle de la matrice d'un endomorphisme dans une base, sinon en général il existe plusieurs représentants.

Tu peux enlever le mot "canoniquement" dans l'énoncé si tu veux, ça rendra juste la preuve un peu plus pénible vu qu'il faudra manipuler à la fois la base de A et celle de B. Mais tout ce qu'il faut retenir c'est que deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

la définiton de base je la connais, mais ce que je comprends pas trop c'est la proposition que j'ai post, pourquoi la matrice B représenterait forcément l'AL canoniquement associée à A, et pas une autre application linéaire que représente A

A et B sont semblables si et seulement s'il existe un endomorphisme représenté par A et B, si et seulement si B représente TOUT endomorphisme représenté par A (en particulier l'endomorphisme canonique de A).

Désolé d’être stupide à ce point, en fait je comprends la premiere partie de phrase, mais je vois pas en quoi la deuxieme serait vraie. Fin, pourquoi les deux définitions seraient equivalentes quoi

Ok bah commence par montrer que c'est le meme endomorphisme

tu peux le faire juste en partant du fait que A = PBP^-1

Elles sont équivalentes par la formule de changement de base :
si A (respectivement B) est la matrice d'un endomorphisme f dans une base b1 (resp. dans une base b2), alors en notant P la matrice de passage de b1 à b2, on sait que B = P^{-1} A P.

Oh ptn, je vois enfin merci c’est bcp plus clair. Dire que j’ai passé des heures sur un truc con comme ca non: