Hello
j'ai cet exo

question 1
dans le corrigé est utilisé la norme infinie,

quelles sont les autres méthodes ?
et comment les appliquer?

ça marche si on fixe x=0 et on fait tendre y vers 0 puis vice versa ?

thanks
dans le corrigé est utilisé la norme infinie pour montrer que la limite lorsque (x,y) tend vers (0,0) est bien 0

ça marche si on fixe x=0 et on fait tendre y vers 0 puis vice versa ?

Non c'est faux en général, par exemple h(x,y) = xy/(x² + y²) et h(0,0) = 0. Quand on fixe x=0 ou y=0 et qu'on laisse la variable restante tendre vers 0, on obtient une limite nulle. Mais cette fonction h n'est pas continue en (0,0) ; regarde ce qu'il se passe quand on s'approche de (0,0) sur la droite d'équation x=y.

Quant au choix de la norme, ça n'a pas d'importance. Elles sont toutes équivalentes entre elles dans un espace vectoriel réel de dimension finie. En général, on choisit la plus commode suivant le contexte.

comme autre méthode tu peux aussi passer aux coordonnées polaires

Le 17 mai 2022 à 18:43:29 :

ça marche si on fixe x=0 et on fait tendre y vers 0 puis vice versa ?

Non c'est faux en général, par exemple h(x,y) = xy/(x² + y²) et h(0,0) = 0. Quand on fixe x=0 ou y=0 et qu'on laisse la variable restante tendre vers 0, on obtient une limite nulle. Mais cette fonction h n'est pas continue en (0,0) ; regarde ce qu'il se passe quand on s'approche de (0,0) sur la droite d'équation x=y.

Quant au choix de la norme, ça n'a pas d'importance. Elles sont toutes équivalentes entre elles dans un espace vectoriel réel de dimension finie. En général, on choisit la plus commode suivant le contexte.

ici c'est la norme infinie la plus judicieuse à choisir ?

Le 17 mai 2022 à 19:14:33 :
comme autre méthode tu peux aussi passer aux coordonnées polaires

yes tu me montres comment tu fais stp ?

Le 17 mai 2022 à 19:24:07 :

Le 17 mai 2022 à 18:43:29 :

ça marche si on fixe x=0 et on fait tendre y vers 0 puis vice versa ?

Non c'est faux en général, par exemple h(x,y) = xy/(x² + y²) et h(0,0) = 0. Quand on fixe x=0 ou y=0 et qu'on laisse la variable restante tendre vers 0, on obtient une limite nulle. Mais cette fonction h n'est pas continue en (0,0) ; regarde ce qu'il se passe quand on s'approche de (0,0) sur la droite d'équation x=y.

Quant au choix de la norme, ça n'a pas d'importance. Elles sont toutes équivalentes entre elles dans un espace vectoriel réel de dimension finie. En général, on choisit la plus commode suivant le contexte.

ici c'est la norme infinie la plus judicieuse à choisir ?

non c'est la norme ||⋅||2

Le 17 mai 2022 à 19:24:17 :

Le 17 mai 2022 à 19:14:33 :
comme autre méthode tu peux aussi passer aux coordonnées polaires

yes tu me montres comment tu fais stp ?

Pour (x, y)= ̸= (0, 0) tu pose x = r cos θ, y = r sin θ avec r > 0 et 0 ≤ θ < 2π, après t'essaie de majorer abs( f(x:y) )

La fonction est bornée par 2r^2. Quand r tend vers 0, la fonction tend vers 0, donc continue.

c bon ?

Le 17 mai 2022 à 21:55:03 :
La fonction est bornée par 2r^2. Quand r tend vers 0, la fonction tend vers 0, donc continue.

Oui

cette méthode convient quand on a des fractions rationnelles ?

Le 17 mai 2022 à 22:21:09 :
cette méthode convient quand on a des fractions rationnelles ?

une fraction rationnelle c'est de la forme P(x)/Q(x) avec P, Q polynomes, donc pour regarder le comportement en 0 suffit de trouver un équivalent de P et de Q.

Le 17 mai 2022 à 22:21:09 :
cette méthode convient quand on a des fractions rationnelles ?

Le polaire c'est bien quand tu as des termes de la forme x² + y² (car ça correspond au carré de la distance euclidienne séparant (x,y) de l'origine)

Le 17 mai 2022 à 22:36:49 :

Le 17 mai 2022 à 22:21:09 :
cette méthode convient quand on a des fractions rationnelles ?

une fraction rationnelle c'est de la forme P(x)/Q(x) avec P, Q polynomes, donc pour regarder le comportement en 0 suffit de trouver un équivalent de P et de Q.

même à 2 variables ?

Le 17 mai 2022 à 22:59:15 :

Le 17 mai 2022 à 22:36:49 :

Le 17 mai 2022 à 22:21:09 :
cette méthode convient quand on a des fractions rationnelles ?

une fraction rationnelle c'est de la forme P(x)/Q(x) avec P, Q polynomes, donc pour regarder le comportement en 0 suffit de trouver un équivalent de P et de Q.

même à 2 variables ?

Non

alors il dit des bêtises bonnaubaine ?

Pas totalement
Si par exemple en passant en coordonnées polaires, tu trouves une expression de la forme P(r)/Q(r), la ça marchera bien de trouver un équivalent en 0 (et pour des polynômes rien de plus simple)

Mais y a pas vraiment de méthodes universelles