J'ai pas trop pigé, vous pouvez m'expliquer ?
merci

Pour les formes quadratiques ou les systèmes linéaires ?

forme quadra

help

l'algèbre linéaire ce truc de cancer quoi

Le principe de la réduction de Gauss c'est de décomposer une forme quadratique en somme de carrés indépendants (une telle décomposition n'est pas unique).

Je considère par exemple la forme quadratique q(x,y,z) = x² - 3xz + yz.
On voit un terme carré x² et un terme croisé xz, donc on va compléter le carré :

x² - 3zx = x² - 2 * (3/2 z)x = (x - 3/2 z)² - 9/4 z²

Donc q(x,y,z) = (x - 3/2 z)² - 9/4 z² + yz. Puis on recommence avec le carré z² et le terme croisé yz.

- 9/4 z² + yz = -9/4 [ z² - 2 * (2/9 y) * z ] = -9/4 [ (z - 2/9 y)² - 4/81 y² ] = -9/4 (z - 2/9 y)² + 1/9 y²

Ainsi q(x,y,z) = (x - 3/2 z)² -9/4 (z - 2/9 y)² + 1/9 y². Il n'y a plus aucun terme croisé, on a donc terminé la décomposition. Les formes linéaires L_1(x,y,z) = x - 3/2 z ; L_2(x,y,z) = z - 2/9 y et L_3(x,y,z) = y sont linéairement indépendantes (on peut le vérifier mais c'est garanti en théorie par l'algorithme de Gauss).

Quand il n'y a pas de terme carré, comme dans q(x,y,z,w) = xy - 3yz + 2xz + zw, il faut ruser. On commence par choisir un terme croisé, disons xy. On décompose q en quatre morceaux

(terme xy) + x * (termes sans x) + y * (termes sans y) + (termes sans x, ni y)

Dans mon exemple, ce sera q(x,y,z) = xy + x * (2z) + y * (-3z) + zw puis on écrit

xy + x * (2z) + y * (-3z) = (x - 3z) (y + 2z) + 6z²

En utilisant une formule de polarisation telle que ab = 1/4 (a+b)² - 1/4 (a-b)² on obtient

q(x,y,z,w) = 1/4 (x + y - z)² - 1/4 (x - y - 5z)² + 6z² + zw

Maintenant un carré est sorti, on peut utiliser la méthode de complétion du carré comme tout à l'heure. On trouve finalement une décomposition :

q(x,y,z,w) = 1/4 (x + y - z)² - 1/4 (x - y - 5z)² + 6(z + 1/12 w)² - 1 /24 w²

Les expressions sous les carrés sont des formes linéaires indépendantes par construction (tu peux le vérifier à la main si ça te chante). Bref il n'y a rien de compliqué, c'est surtout du calcul un peu chiant.

Le 06 mai 2022 à 21:39:04 :
l'algèbre linéaire ce truc de cancer quoi

Je suis Bélier et j'en fais.

super merci, je vais potasser tout ça

par contre la signature à la fin est bien unique ?

Le 07 mai 2022 à 14:08:56 :
par contre la signature à la fin est bien unique ?

Oui ça découle de la loi d'inertie de Sylvester

ok et donc le but à la fin c'est de n'avoir aucun terme croisé ?

Le 07 mai 2022 à 14:42:03 :
ok et donc le but à la fin c'est de n'avoir aucun terme croisé ?

Entre autres, mais il faut bien suivre la méthode pour avoir des carrés indépendants à la fin.

quand on dit qu'on a des formes linéaires linéairement indépendantes ça veut dire que la famille est libre ?