j'ai pas complètement pigé, c'est quoi?
essayez de m'expliquer avec vos mots svp

Un seuil
Si t’es dans le cercle tu converges
Si t’es en dehors tu diverges
Et dans la frontière on peut rien dire a priori

Points singuliers ou réguliers

Le 25 avril 2022 à 01:05:00 :
Un seuil
Si t’es dans le cercle tu converges
Si t’es en dehors tu diverges
Et dans la frontière on peut rien dire a priori

si quoi est dedans ?

[14:14:23] <VentDoUEST>

Le 25 avril 2022 à 01:05:00 :
Un seuil
Si t’es dans le cercle tu converges
Si t’es en dehors tu diverges
Et dans la frontière on peut rien dire a priori

si quoi est dedans ?

La variable de ta série entière, le z dans somme anz^n

Je vais utiliser des faits bien connus en analyse complexe qui reposent sur la théorie des séries entières, mais ça permet de comprendre la signification du rayon.

On considère une fonction f(z) holomorphe sur un tout petit disque, par exemple la fonction f(z) = 1/(1+z²) sur un tout petit disque centré en z=0. La théorie de Cauchy nous dit que f(z) s'écrit comme la somme d'une série entière sur ce disque. On se demande ensuite jusqu'où il est possible de prolonger f(z) de manière holomorphe, à un domaine d'un seul tenant (on dit qu'il est connexe) contenant notre petit disque. La théorie de la variable complexe dit qu'un prolongement à un domaine donné, s'il existe, est unique (c'est le principe du prolongement analytique). Sur mon dessin, il y a un petit prolongement autour d'un point bleu de la frontière (du domaine en vert citron), puis autour du point rose :

http://sketchtoy.com/70615551

De cette manière, on suit le prolongement analytique de f(z) le long du chemin point vert -> point bleu -> point rose -> etc. On répète cette procédure en partant d'un point de la frontière du nouveau domaine, et ainsi de suite on aboutit à un domaine (connexe) maximal de prolongement :

http://sketchtoy.com/70615610

Il est impossible de prolonger f(z) au delà du domaine en bleu, les points du bord sont dits singuliers. Sur mon dessin, on en trouve de diverses natures : ceux qui sont isolés (les petits points) et ceux qui ne le sont pas (les singularités sont collées les unes aux autres). Maintenant on regarde le plus grand disque centré autour du point vert qui soit inclus dans le domaine en bleu (j'ai tracé sa frontière) :

http://sketchtoy.com/70615636

Le rayon de ce disque est le rayon de la série entière qui représente f(z) au voisinage de z=0.

Pour l'exemple f(z) = 1/(1+z²) ça donne ça (j'ai tracé les deux seules singularités en rouge)

http://sketchtoy.com/70615701

La présence de ces deux singularités explique pourquoi f(z) est développable en série entière en z=0 mais que le rayon soit seulement égal à 1 (bien qu'elle soit développable en série entière autour de chaque point distinct de +/- i). Plus généralement, la distance à la singularité la plus proche de z_0 correspond au rayon de convergence de la série entière qui représente f(z) au voisinage de z_0.

Remarque 1 : à propos du un, le domaine obtenu n'est généralement pas unique. L'exemple de référence est celui du logarithme, initialement défini sur le disque D(1,1) qui admet une infinité de tels domaines. L'interprétation du rayon de convergence reste cependant indépendante du choix de ce domaine.

Remarque 2 : Tout ce que je viens de raconter est uniquement valable en dimension (complexe) 1. Le monde des fonctions holomorphes de plusieurs variables est radicalement différent, et le rayon de convergence des séries entières multivariées n'a aucune interprétation géométrique satisfaisante.

Je ne sais pas si ce que je raconte est clair pour toi, dis-moi. En tout cas, c'est comme ça que j'interprète le rayon de convergence d'une série entière.

Le 25 avril 2022 à 18:09:24 :
Je vais utiliser des faits bien connus en analyse complexe qui reposent sur la théorie des séries entières, mais ça permet de comprendre la signification du rayon.

On considère une fonction f(z) holomorphe sur un tout petit disque, par exemple la fonction f(z) = 1/(1+z²) sur un tout petit disque centré en z=0. La théorie de Cauchy nous dit que f(z) s'écrit comme la somme d'une série entière sur ce disque. On se demande ensuite jusqu'où il est possible de prolonger f(z) de manière holomorphe, à un domaine d'un seul tenant (on dit qu'il est connexe) contenant notre petit disque. La théorie de la variable complexe dit qu'un prolongement à un domaine donné, s'il existe, est unique (c'est le principe du prolongement analytique). Sur mon dessin, il y a un petit prolongement autour d'un point bleu de la frontière (du domaine en vert citron), puis autour du point rose :

http://sketchtoy.com/70615551

De cette manière, on suit le prolongement analytique de f(z) le long du chemin point vert -> point bleu -> point rose -> etc. On répète cette procédure en partant d'un point de la frontière du nouveau domaine, et ainsi de suite on aboutit à un domaine (connexe) maximal de prolongement :

http://sketchtoy.com/70615610

Il est impossible de prolonger f(z) au delà du domaine en bleu, les points du bord sont dits singuliers. Sur mon dessin, on en trouve de diverses natures : ceux qui sont isolés (les petits points) et ceux qui ne le sont pas (les singularités sont collées les unes aux autres). Maintenant on regarde le plus grand disque centré autour du point vert qui soit inclus dans le domaine en bleu (j'ai tracé sa frontière) :

http://sketchtoy.com/70615636

Le rayon de ce disque est le rayon de la série entière qui représente f(z) au voisinage de z=0.

Pour l'exemple f(z) = 1/(1+z²) ça donne ça (j'ai tracé les deux seules singularités en rouge)

http://sketchtoy.com/70615701

La présence de ces deux singularités explique pourquoi f(z) est développable en série entière en z=0 mais que le rayon soit seulement égal à 1 (bien qu'elle soit développable en série entière autour de chaque point distinct de +/- i). Plus généralement, la distance à la singularité la plus proche de z_0 correspond au rayon de convergence de la série entière qui représente f(z) au voisinage de z_0.

Remarque 1 : à propos du un, le domaine obtenu n'est généralement pas unique. L'exemple de référence est celui du logarithme, initialement défini sur le disque D(1,1) qui admet une infinité de tels domaines. L'interprétation du rayon de convergence reste cependant indépendante du choix de ce domaine.

Remarque 2 : Tout ce que je viens de raconter est uniquement valable en dimension (complexe) 1. Le monde des fonctions holomorphes de plusieurs variables est radicalement différent, et le rayon de convergence des séries entières multivariées n'a aucune interprétation géométrique satisfaisante.

Je ne sais pas si ce que je raconte est clair pour toi, dis-moi. En tout cas, c'est comme ça que j'interprète le rayon de convergence d'une série entière.

je crois que l'auteur est genre à bac+1, la définition de csamy me semble plus aisée si c'est le cas

Sur le cercle d'incertitude tu as le théorème d'Abel radial et également le tangentiel à connaître ! L'existence d'un recouvrement fini du cercle par des disques et des séries entières adéquates est un bon exercice de partiel niveau L2 MASS je pense !