Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour un DM

https://cdn.discordapp.com/attachments/880587630499217409/957390934025322576/20220326_222933.jpg

Dans la question a), je narrive pas à faire l'implication "si P(Z) inclu dans Z alors ck = lk/k!". Le prof a dit de faire une récurrence mais je vois pas trop franchement

Tu peux exprimer P_k(i) en fonction d'un coefficient binomial et d'une factorielle, s'intéresser particulièrement au cas k=i.

Le 26 mars 2022 à 22:51:04 :
Tu peux exprimer P_k(i) en fonction d'un coefficient binomial et d'une factorielle, s'intéresser particulièrement au cas k=i.

ah j'y avais pensé mais je m'étais dis que c'était peine perdu
Merci du coup

Le 26 mars 2022 à 22:51:04 :
Tu peux exprimer P_k(i) en fonction d'un coefficient binomial et d'une factorielle, s'intéresser particulièrement au cas k=i.

dans la récurrence c'est bien ça ?

Oui par récurrence sur i de 0 à n en utilisant le fait que P(i) est un entier.

Le 26 mars 2022 à 23:07:26 :
Oui par récurrence sur i de 0 à n en utilisant le fait que P(i) est un entier.

Ok merci

du coup j'ai réussi la question précéente mais j'ai utilisé un autre raisonnement venusberg, j'arrivais pas avec le tiens

qqn aurait une idée pour la derniere question (pr démonter le thm de wilson )? J'ai l'impression de tourner autour du pot

Si tu veux montrer le début de la question, il faut considérer le polynôme P_p - X^p + X et montrer qu'il vérifie les conditions de la question 3 (on utilisera un célèbre petit théorème).

Si tu veux juste déduire le théorème de Wilson, montre que la congruence modulo p est toujours vraie en divisant par X les deux termes de la congruence, puis évalue cette nouvelle congruence en une valeur adaptée.

Sinon peu importe mais voici comment j'aurais rédigé la récurrence de la question 2(a) :

Le 27 mars 2022 à 10:02:03 :
Si tu veux montrer le début de la question, il faut considérer le polynôme P_p - X^p + X et montrer qu'il vérifie les conditions de la question 3 (on utilisera un célèbre petit théorème).

Si tu veux juste déduire le théorème de Wilson, montre que la congruence modulo p est toujours vraie en divisant par X les deux termes de la congruence, puis évalue cette nouvelle congruence en une valeur adaptée.

Sinon peu importe mais voici comment j'aurais rédigé la récurrence de la question 2(a) :

SpoilAfficherMasquer

Pour tous entiers i et k entre 0 et n, P_k(i) = k! * B(i,k) où B(i,k) est le coefficient binomial "k parmi i", en particulier P_k(i) = 0 si k > i et donc P(i) = somme des c_k * k! * B(i,k) pour k allant de 0 à i.
Initialisation de la récurrence : c_0 = P(0) est un entier (notons-le L_0), ce qu'il fallait montrer.
Pour un entier i entre 0 et n-1 donné, supposons que la propriété c_k = L_k / k! pour un entier L_k est vraie pour tout k de 0 à i-1, montrons alors que c_i est de la forme L_i / i! pour un certain entier L_i :
P(i) = c_i * i! * B(i,i) + somme des c_k * k! * B(i,k) pour k allant de 0 à i-1, on obtient donc par hypothèse de récurrence que
c_i * i! = P(i) - somme des L_k / k! * k! * B(i,k) pour k allant de 0 à i-1, c'est-à-dire
c_i * i! = P(i) - somme des entiers L_k * B(i,k) pour k allant de 0 à i - 1,
il s'agit donc bien d'un entier L_i puisque P(i) est un entier par hypothèse.
Fin de la récurrence.

Super merci pour ton aide

J'étais sûr que les polynômes de Hilbert se faisaient en 1ère année de prépa ! Enfin c'était aussi un sujet d'agreg très récent on m'a dit !

Le 27 mars 2022 à 23:31:39 :
J'étais sûr que les polynômes de Hilbert se faisaient en 1ère année de prépa ! Enfin c'était aussi un sujet d'agreg très récent on m'a dit !

Notre prof nous a mis un sujet CAPES 2002 en ds (moyenne de classe a 3/20 donc) il est capable de tout
Super professeur en depit de