Bonsoir, j'ai réussi la question A de l'exercice 6, mais je bloque sur la B depuis quelques jours, à partir de N^4 la matrice est nul.
J'ai démontré l’hypothèse par récurrence et le prof me demande de construire la matrice N sous la forme :

Si vous avez une piste je suis preneur !
Merci par avance.

En sachant qu'il ma conseillé d'utilisé A=N+I, et d'exprimé A à l'aide de N.

Ben normalement tu as calculé N, N², N³ et tu sais que les puissances suivantes sont nulles.
Pour calculer A^n tu peux utiliser la formule de binôme (pourquoi ?).

Le 22 mars 2022 à 20:10:39 :
Ben normalement tu as calculé N, N², N³ et tu sais que les puissances suivantes sont nulles.
Pour calculer A^n tu peux utiliser la formule de binôme (pourquoi ?).

Oui en effet j'ai calculé N,N²..... et je vois bien que que A^n = (N+I)^n que je peux développer avec la formule du binôme mais je ne comprend toujours pas où ça m’amène:-(

Déjà pourquoi tu peux utiliser la formule du binôme ?

Pour développer l'expression (N+I)^n

Oui bien sûr, mais comme il s'agit de matrices, il y a une condition à vérifier (ou à mentionner).

Je ne vois pas de quoi tu parles, tu peux me dire quelle condition ?

La formule du binôme est vraie pour n'importe quelles matrices ?

il faut que les matrices commutent ?

Oui, et ici c'est le cas
Puisqu'il est légal d'utiliser les formules du binôme avec N et I, que donnent-elles ?

Somme de k à n = (k parmi n)*N^(n-k)*I

Par exemple. On peut aussi parcourir la somme à l'envers pour écrire A^n = somme de k=0 à n des (k parmi n) N^k
Que se passe-t-il ensuite pour k assez grand ?

A partir d'un moment la somme est toujours égale à N+N² +N^3 car a partir de N^4 c'est la matrice nilpotente?

Oui (n'oublie pas les coeffs binomiaux) donc la somme s'arrête au plus tard à k = 3
Donc quelle est l'expression de A^n en fonction de n ?

Désolé mais je ne comprend toujours pas c'est quoi la réponse correcte à la question malgré tout.

Comme N^k = 0 pour k=4,5, etc. on a A^n = (0 parmi n) I + (1 parmi n) N + (2 parmi n) N² + (3 parmi n) N³ pour n>=3
Pour n < 3 il faut arrêter la somme à k=n

Ah ! Je n'avais pas vu ça ! merci!