Yo

comment montrer que la somme de 2 nombres positifs est positive ?

merci

Par récurrence sur R bien sûr.

Le 16 mars 2022 à 22:31:17 :
Par récurrence sur R bien sûr.

faut préciser récurrence descendante aussi

Soit s la fonction successeur des entiers naturels issue de l'axiomatique de Peano ( on note n+1 l'entier s(n) pour tout entier naturel n). Par définition de s, cette fonction est à valeurs dans les entiers naturels.

Par définition de l'addition de deux entiers naturels, pour tous entiers naturels n et m, n+m = s^m(n) (la composée m-ième de s évaluée en n), or s est à valeurs dans N donc s^m aussi, ainsi n+m est un entier naturel, CQFD (les entiers positifs sont par définition les entiers naturels).

On peut aussi montrer que n+m est positif pour tout entier naturel n et pour tout entier strictement positif m par récurrence sur les entiers m > 0 en utilisant de nouveau la fonction successeur, sans rire.

J'ai mal lu la question.

Par définition une somme de nombres rationnels positifs peut être écrire sous la forme d'un quotient d'entiers positifs, c'est donc un rationnel positif par définition.

Plus généralement une somme de nombres réels positifs est la classe d'équivalence d'une somme de deux suites de Cauchy rationnelles positives à partir d'un certain rang, donc la classe d'équivalence d'une somme de Cauchy rationnelle positive à partir d'un certain rang (on peut montrer facilement qu'une somme de suites de Cauchy est toujours une suite de Cauchy, et qu'une somme de rationnels positifs à partir d'un certain rang l'est toujours ).

pas compris

Si sur la droite des réels tu translates vers la droite un point à droite de l'origine il reste à droite de l'origine

L'explication de Venusberg requiert de s'intéresser aux fondements des ensembles N, Z, Q et R.

C'est un passage, je pense, obligatoire pour correctement répondre à ta question.

Déjà, faut savoir que R (les réels) se définissent grâce aux rationnels (Q) eux-même définis grâce aux entiers relatifs (Z), eux-même définis grâce aux entiers naturels (N).

Pour répondre à ta question, il a donc commencé par le montrer dans le cas de N, puis Q, puis Z.

Je t'invite d'abord à t'intéresser à comment on définit tous ces ensembles pour qu'on puisse te répondre, sinon c'est compliqué

Puis R* (après Q)

y a pas moyen de prouver avec des outils de L1 ?

Ça dépend de ce que tu supposes comme établi, tu peux donner un peu de contexte ?
en soi tu peux écrire que si x>=0 et y>=0, x+y>=0+0=0 mais c'est un peu tautologique

Le 19 mars 2022 à 21:19:57 :
y a pas moyen de prouver avec des outils de L1 ?

les outils de L1 supposent déjà l'existence de R et tout, donc ça risque de finir en serpent qui se mord la queue