Il y a quelque chose d'implicite dont tu ne parles pas dans ton post (et c'est pas de ta faute, malheureusement c'est un manquement récurrent dans les vidéos YouTube sur i^i) : avant de chercher à déterminer la valeur de i^i, comment tu définis i^i ?
C'est quoi un nombre complexe élevé à une puissance complexe ? Bien sûr, on aimerait avoir les mêmes propriétés que lorsque tout est réel, mais rien n'est garanti a priori.
On sait ce qu'est i^n quand n est entier, mais dès qu'on élève i à une puissance non entière, les choses sont moins claires : rien que pour définir i^(1/2), il y a deux choix possibles.
Bref, tu traites i^i comme si c'était i^(un entier) mais tu ne le justifies pas.
Tu utilises la formule de De Moivre qui n'est vraie en général que pour un exposant entier. On ne risque pas d'avoir pour tout réel x exp(ix)^i=exp(-x) puisque l'exponentielle complexe est périodique (prendre x=0 et 2pi)
Tu as remarqué qu'il y avait une histoire de périodicité mais ce n'est pas écrit de manière très rigoureuse.
Pour bien définir i^i et gérer ce problème de périodicité proprement, la bonne manière de faire est de choisir une détermination complexe du logarithme, notée Log, puis de définir i^i comme exp(iLog(i)). C'est pour ça qu'on parle du log dans les démos que tu cites.
Le Log complexe le plus classique (qu'on appelle la détermination principale du logarithme) vérifie l'égalité Log(z)=log(|z|)+iarg(z) pour z non nul, ce qui donne ta formule.
En soi, ta preuve fonctionne si tu démontres que si on définit z^i comme exp(iLog(z)), alors on a bien exp(ix)^i=exp(-x) pour x dans ]-pi,pi], mais je pense que tu peux te rendre compte maintenant que c'est finalement une preuve moins élémentaire que d'utiliser directement la définition de i^i.
Tu peux au passage remarquer que définir x^w avec x>0 et w complexe c'est facile (on peut directement utiliser le logarithme réel), le cas délicat c'est lorsque la base est complexe.
J'ai assez rapidement vu que : i = exp( i*(pi/2) )
