bonsoir la communauté
pouvez-vous corriger mon raisonnement et répondre à mes questions ?

je dois trouver une base d'un noyau

on a

l'endomorphisme de R^3 donc la matrice dans la base canonique est

A =
0 3 3
2 1 -5
1 5 2

je fais (x,y,z) ∈ ker A <=> A (x,y,z) = (0,0,0)

je me retrouve avec le système

3y+3z=0
2x+y-5z=0
x+5y+2z=0

peut-on déjà ici connaître la dimension de ker(u) ?

ensuite, comment faire pour trouver la base de ker(u) ?

Merci

Toutes tes réponses sont dans ton cours.

- Déterminer une base d'un ev revient à déterminer l'ensemble des vecteurs de l'ev.
- Déterminer le noyau d'un endomorphisme f / matrice A revient à résoudre l'équation f(u)=0 / AX=0.
- On résout une équation AX=0 avec la méthode du Pivot.
- La méthode du Pivot fournit une base du noyau.
- La dimension d'un ev est égale au cardinal d'une base.

L'algèbre linéaire repose sur des résultats simples, peu nombreux, mais fondamentaux. Il faut que tu comprennes leur fonctionnement, sinon tu auras toutes les chances d'être bloqué à la moindre question sur le sujet (comme ici un calcul de noyau de matrice 3x3).

Et visuellement parlant (chose que l'on peut bien comprendre avec la correspondance sur le lien appli lin <-> matrice, couplée au théorème du rang), on peut remarquer que cette matrice est de rang 2 (on a C3 = C2-3C1, et (C2,C3) est une famille libre), donc le noyau sera de dimension 1, engendré par le vecteur (3,-1,1) (car 3C1-C2+C3=0). Voilà le résultat auquel tu dois t'attendre après résolution du système linéaire.

le système que tu as équivaut à

x=3z
y=-z

et alors, comment j'obtiens ker avec ça ?

théorème du rang

Le 06 janvier 2022 à 14:19:04 :
et alors, comment j'obtiens ker avec ça ?

prends x=1 par exemple

sinon tu écris

(x,y,z) = (3z,-z,z) = z(3,-1,1)

donc ker(u) = Vect(3,-1,1)

ok merci

et par exemple si à la fin je trouve

y=2x+z

je fais comment ?

help plz

par exemple tu fais

x=1x+0z
y=2x+z
z=0x+1z

donc une base est formée par les vecteurs
(1,2,0) et (0,1,1)

ok merci et de manière plus générale ?