Bonjour à tous,

Je dois montrer la propriété suivante :

La composée de deux fonctions bijectives est bijective

La contrainte est de le prouver sans utiliser les notions d'injection et de surjection

Si je prends :

a : E -> F bijective
b : F -> G bijective

Je dois prouver que b o a : E -> G est bijective.

(Puisque b bijective) Soit z dans G, il existe un unique y dans F tel que : b(y)=z.

(Puisque a bijective) Pour ce y dans F, je sais qu'il existe un unique x dans E tel a(x)=y.

Au final, j'ai que pour tout z dans G, il existe un unique x dans E tq b(a(x)) = z soit b o a (x) = z.
Et cela correspond à la définition de b o a bijective de E dans G.

Que pensez-vous de ma démonstration ? Elle me semble logique et robuste mais je ne la vois pas particulièrement sur les ressources en ligne. Je suis peut-être passé à côté de quelque chose.

Merci pour votre aide

oui

pour moi c'est pas si évident que ça que "pour z il existe un unique y" + "pour ce y il existe un unique x" ça implique que "pour z il existe un unique x" au niveau de l'unicité. (l'existence est ok) Après, peut-être que c'est parce qu'il est 23 heures et que je suis fatigué, mais quand même : je trouverais ta démo un peu plus claire si tu faisais en deux parties : 1) montrer l'unicité puis 2) montrer l'existence. Et puis c'est une bonne habitude à prendre de faire ces deux étapes proprement.

Le 12 décembre 2021 à 23:00:27 :
pour moi c'est pas si évident que ça que "pour z il existe un unique y" + "pour ce y il existe un unique x" ça implique que "pour z il existe un unique x" au niveau de l'unicité. (l'existence est ok) Après, peut-être que c'est parce qu'il est 23 heures et que je suis fatigué, mais quand même : je trouverais ta démo un peu plus claire si tu faisais en deux parties : 1) montrer l'unicité puis 2) montrer l'existence. Et puis c'est une bonne habitude à prendre de faire ces deux étapes proprement.

Merci pour ton retour, c'est en effet sur ce point que je bute aussi.

Comme tu dis, avec ma démonstration, je montre que je peux associer à tout z un x, donc en cela ma fonction est au moins surjective.

Mais en effet, le fait qu'il y a un chemin unique entre z et y puis un chemin unique entre y et x n'implique pas qu'il y a un chemin unique entre z et x.

Pour faire propre, je peux supposer que j'ai x1 et x2 dans E tel que b o a (x1) = b o a (x2) et en utilisant l'injectivité de a et de b (vu leur injectivité), j'en déduis que x1=x2.

J'ai donc montré dans un premier temps, que pour tout z, j'ai au moins un x.
Et dans un second temps, que ce x est unique.

Qu'en dis tu ?

Exhiber une fonction reciproque démontre la bijection donc c'est très simple
si f est bijective alors il existe f^-1
si g est bijective alors il existe g^-1

(g^-1)o(f^-1)o f o g = Id

Et ceci conclut la démonstration.
Non seulement j'ai montré que fog est bijective mais j'ai construis sa réciproque:

C'est (g^-1)o(f^-1)

Pour ce qui est de ta demo pour moi elle reste correcte, si tu fais un schéma de patate ça parait évident

La bijection signifie qu'il existe un unique chemin qui relie chaque point de l'ensemble E à l'ensemble F et pareil de F à G finalement tu peux remonter de G à E sans aucun soucis et ceci pour chaque élément de G.

Pour ce qui est de démontrer l'existence puis l'unicité ça revient en fait à montrer la surjection puis l'injection, ce qui est interdit par l'énoncé, donc je pense qu'ils attendent quelque chose qui ressemble à ma démo, un truc plus de l'ordre de la théorie des groupes

J'aurais tendance à dire comme csamy, l'unicité dans sa précédente preuve est pas très claire (ça reste vrai, mais pas si immédiat quand même à ce niveau), la preuve en 2 parties est plus convaincante !

Je pense perso que si, justement ta démonstration est correcte, et que l'implication est démontrée entièrement par la bijectivité des fonctions sans avoir à réfléchir en 2 étapes.
Dessiner 3 patates permettra de t'en assurer.

Fixons z dans G
(Puisque b bijective) il existe un unique y dans F tel que : b(y)=z
(Puisque a bijective) ça signifie que pour N'IMPORTE LEQUEL des y' de F je peux trouver un unique antécédent x' dans E tel a(x')=y.'
Donc en particulier cela fonctionne pour mon y dans F en question, je sais donc qu'il existe un unique x dans E tel a(x)=y.

je sais donc qu'il existe un unique x dans E tel a(x)=y.

La question c'est comment tu en déduis que c'est aussi l'unique x tel que b(a(x)) = z ?

"ça se voit sur le dessin", oui, mais il manque un bout de la preuve.

(g^-1)o(f^-1)o f o g = Id

Et ceci conclut la démonstration.

Il faut pas oublier aussi de vérifier que f o g o (g^-1)o(f^-1) = Id, sinon tu as juste montré l'injectivité

Le 13 décembre 2021 à 03:50:44 :

je sais donc qu'il existe un unique x dans E tel a(x)=y.

La question c'est comment tu en déduis que c'est aussi l'unique x tel que b(a(x)) = z ?

"ça se voit sur le dessin", oui, mais il manque un bout de la preuve.

(g^-1)o(f^-1)o f o g = Id

Et ceci conclut la démonstration.

Il faut pas oublier aussi de vérifier que f o g o (g^-1)o(f^-1) = Id, sinon tu as juste montré l'injectivité

Je vois sincèrement pas ce qu'il manque, j'essaie de comprendre ce qui pour vous est manquant mais pour moi ça devrait suffire comme argument. Tu pourrais développer sur le bout de preuve qu'il manque stp?

J'ai l'impression que ce que vous dites c'est que c'est pas parce qu'il y a un unique chemin de Lyon à Marseille et un unique chemin de Paris à Lyon qu'il y a un unique chemin de Paris à Marseille, et je suis d'accord mais dans le contexte là on est en quelque sortes "obligés" de passer par Lyon et du coup l'unique chemin de Paris à Marseille passant par Lyon est celui qui va de Paris à Lyon puis de Lyon à Marseille est-ce que c'est de cet ordre que vient le bout de preuve manquant selon toi?

Et sinon en effet dans ma preuve j'ai voulu l'écrire vite mais je suis totalement d'accord qu'il faut le montrer dans les 2 sens

Honnêtement ça marche, le raisonnement est bon, c'est juste que je trouve que écrire que si b(a(x)) = b(a(y)) alors a(x) = a(y) et donc x = y je trouve ça plus clair pour tout le monde, et c'est un raisonnement + classique donc c'est sympa de se forcer à écrire ça quand on débute, c'est tout...

Le probleme que j'ai, c'est que s'il existe un unique chemin de a à b et un unique chemin de b à c, alors on a pas forcement un unique chemin de a à c.

Si tu veux prouver qu il y a un unique chemin de a à c, alors il faut aussi prouver que t'es obligé de passer par b (c est la partie "injectivité" que tu prouves a coté)

Il n'existe pas d'opérateur logique "il existe un unique x tel que". Et donc pas de règles de raisonnement associées à cet opérateur.

Quand on écrit la formule « ∃!x. P(x) », c'est ni plus ni moins qu'une abréviation pour la formule « ∃x. P(x) et ∀y. P(y) => x=y ».

Donc si on veut être complètement formel, la seule preuve possible c'est de prouver séparément l'existence et l'unicité. Puisque c'est ce que dit la formule : « il existe x et ce x est unique ».

Cela dit, on est pas des machines et le but d'une preuve c'est d'être comprise par l'interlocuteur. En ce sens la preuve de l'OP est correcte pour moi, puisqu'elle contient tous les arguments (le fait que le "chemin" x -> y -> z doive forcément passer par y est contenu dans le fait que y est unique...). Tout le monde est capable de recoller les morceaux et se rendre compte que ça marche.

Cela dit², pour un exercice de niveau L1, c'est mieux de faire les choses "correctement". En lisant la preuve de l'op on a ce petit doute, est ce qu'il y a pas un piège ? Alors que la preuve en deux parties est claire et nette. C'est un peu comme quand on déconseille aux élèves de raisonner par équivalences plutôt que par double implication

Le 14 décembre 2021 à 00:01:55 :
Il n'existe pas d'opérateur logique "il existe un unique x tel que". Et donc pas de règles de raisonnement associées à cet opérateur.

Quand on écrit la formule « ∃!x. P(x) », c'est ni plus ni moins qu'une abréviation pour la formule « ∃x. P(x) et ∀y. P(y) => x=y ».

Donc si on veut être complètement formel, la seule preuve possible c'est de prouver séparément l'existence et l'unicité. Puisque c'est ce que dit la formule : « il existe x et ce x est unique ».

Cela dit, on est pas des machines et le but d'une preuve c'est d'être comprise par l'interlocuteur. En ce sens la preuve de l'OP est correcte pour moi, puisqu'elle contient tous les arguments (le fait que le "chemin" x -> y -> z doive forcément passer par y est contenu dans le fait que y est unique...). Tout le monde est capable de recoller les morceaux et se rendre compte que ça marche.

Cela dit², pour un exercice de niveau L1, c'est mieux de faire les choses "correctement". En lisant la preuve de l'op on a ce petit doute, est ce qu'il y a pas un piège ? Alors que la preuve en deux parties est claire et nette. C'est un peu comme quand on déconseille aux élèves de raisonner par équivalences plutôt que par double implication

t'as tellement bien résumé ma pensée, de manière si parfaite, t'es prof ?

Qu'est-ce que c'est que cette contraite complètement idiote ?

[09:58:16] <TheKingWhoCared>
Qu'est-ce que c'est que cette contraite complètement idiote ?

+1
Surtout quand la vraie propriété c'est fog est bijective si f est surjective et g injective