Bonsoir, je suis en maths expertes et je voudrais montrer l'équivalence entre les 3 propositions suivantes (en sachant : A et B idempotentes dans M_n(R)) :
(a) : A+B idempotente
(b) : AB+BA = On (Avec : On la matrice nulle d'ordre n)
(c) : AB = BA = On

J'ai déjà montré les implications (a) => (b) et (c) => (a) là par calcul direct (en partant de l'hypothèse d'idempotence de A et B dans M_n(R)), mais j'arrive pas à poser l'implication (b) => (c), j'ai déjà essayé à vue d'oeil, on a :
AB + BA = On
=> A^2B + ABA = On (Produit à gauche par A, qui existe toujours sur M_n(R))
=> A^2B^2 + ABAB = On (Produit à droite par B)
=> AB + (AB)^2 = On (Par idempotence des matrices A et B)
=> AB = -(AB)^2
Mais est-ce qu'on a : N = -N^2 => N = On pour le cas général dans M_n(R) ? Il y a des contre-exemple ?

Regarde pour N=-Identité

Pour prouver ce que tu veux tu peux montrer que AAB=BAA en utilisant b)

Ok je vois pour le CE, du coup on a bien :
AB + BA = On
=> AB = -BA, et BA = -AB
=> AAB = -ABA, et BAA = -ABA (Produit à gauche et à droite, par associativité sur M_n(R) par un scalaire)
=> AB = BA
=> 2AB = On
=> AB = BA = On (Par pseudo-intégrité)
Merci pour l'aide et bonne soirée

C'est en maths expertes ça ? Ca a changé la terminale

"maths expertes" bordel, ça c'est la classe

Le 11 décembre 2021 à 01:37:28 :
C'est en maths expertes ça ? Ca a changé la terminale

Je sais pas si ça a "changé" avec spé maths, sur l'intro au calcul matriciel on fait rien de plus que ce genre de petits trucs + quelques résultats/propriétés de base sur l'inversion et le det de matrices 2x2 (après il y a l'application directe à la résolution de petits systèmes linéaires et autres avec la représentation de graphes orientés/non-orientés mais c'est tout)

C'était exactement ça en spé maths aussi

Dommage je trouve car l'intérêt des matrices se trouve dans les grandes dimensions justement

Le 11 décembre 2021 à 09:12:53 :
"maths expertes" bordel, ça c'est la classe

En vrai je sais pas à quoi ça a servi de créer cette option, ils auraient pu tout mettre dans le programme de spé ça revient au même (surtout pour l'intro algébrique sur les complexes et théorie des nombres avec intro arithmétique modulaire), mais après je sais pas

Bah ca va, les manipulations que t'as eues à faire sont pas triviales, donc soit c'était l'exo dur du chapitre, soit les maths expertes c'est en effet un cran au dessus depuis que j etais en term