Sujet : Le groupe engendré par U3 union U4 c'est U12 ?
ManyuIa
On a U3 union U4 C < U3 union U4 > et avec lagrange on a que son ordre est un multiple de 12 et il me semble que pour a dans U3 et b dans U4 on ab dans U12 alors c'est bien ça ?
Je suis pas sûr d'être très clair 
DonDoritos21
Ici tous tes groupes sont commutatifs, donc $\langle \mathbf U_3, \mathbf U_4\rangle = \{ab : a\in \mathbf U_3 \text{ et } b \in \mathbf U_4\}$. Effectivement l'ordre de $\langle \mathbf U_3, \mathbf U_4\rangle$ est un multiple (non nul) de 12 et $\langle \mathbf U_3, \mathbf U_4\rangle \subset \mathbf U_{12}$.
Tu as un ensemble d'au moins 12 éléments inclus dans $\mathbf U_{12}$ qui en possède exactement 12, conclusion $\langle \mathbf U_3, \mathbf U_4\rangle = \mathbf U_{12}$.
Plus généralement, tu as $\langle \mathbf U_n,\mathbf U_m\rangle = \mathbf U_{n\lor m}$ où $n\lor m$ désigne le ppcm de $n$ et $m$.
La preuve est similaire...
Bon déjà, le sous-groupe $\langle \mathbf U_n, \mathbf U_m\rangle$ est fini (c'est important de le mentionner).
Puisque $n$ et $m$ divisent l'ordre de $\langle \mathbf U_n, \mathbf U_m\rangle$, il en est de même de leur ppcm $n\lor m$ (si t'es pas convaincu, fais la division euclidienne de l'ordre par ce ppcm), donc l'ordre est $\ge n \lor m$. En outre, on sait que $\langle \mathbf U_n, \mathbf U_m\rangle \subset \mathbf U_{n\lor m}$ et ce dernier ensemble possède $n\lor m$ éléments, pas le choix, c'est que $\langle \mathbf U_n,\mathbf U_m\rangle = \mathbf U_{n\lor m}$. 