Bonjour.

J'ai un exercice en math dans lequel je dois dire pour quelles valeur de x la fonction suivante est continue:

f(x) = sqrt(4x^2 - 9)

J'hésite entre deux réponses:

] -inf, -3/2 [ U ] 3/2, +inf [ ou
] -inf, -3/2 ] U [ 3/2, +inf [

Autrement dit, je me demande si je dois inclure +-3/2 dans mon intervalle.
Certes, la fonction existe en ces points, mais j'aurais du mal à dire si la limite y existe.
En effet, pour que la limite en un point existe, il faut que la limite à gauche et à droite soient les mêmes.

Or, pour x = -3/2, la limite existe à gauche, (c'est 0), mais à droite, comme on est hors du domaine,
il me semble que la limite n'existe pas. Même principe pour x = 3/2.

Merci à ceux qui prendront le temps de répondre.

Oui tu dois inclure 0. Car c'est bien défini : racine(0) = 0

Tu parles de deux choses différentes, continuité et limite.

Je sais pas trop comment répondre à tes questions en fait,

Pour répondre à la première je dirais que tu dois inclure -3/2 et 3/2 car la fonction est continue et définie en ces points.

Ensuite, on peut très bien parler de limite sans qu'il y ait continuité, avec par exemple la fonction f(x) = E(x)/x qui tend vers 1 en +infini alors que cette fonction est discontinue en chaque entier.

Le 05 octobre 2021 à 21:43:41 :
Tu parles de deux choses différentes, continuité et limite.

Dans mon ouvrage de référence, la continuité d'une fonction f(x) en un point a se définit en trois points:
1) f(a) est définit.
2) La limite de f(x) quand x tend vers a existe.
3) Cette limite correspond à f(a)

Dans mon exercice, le point 1) est effectivement respecté en +-3/2 puisque f(+-3/2) existe. Ce qui me pose problème est le point 2). Toujours d'après le même ouvrage, la limite d'une fonction en un point a existe uniquement si les limites unilatérales (à gauche et à droite) sont égales.

Or, dans mon problème, si je cherche à calculer la limite quand x tend vers 3/2 par la droite, je trouve 0,
mais si je le fais par la gauche... la fonction n'est pas définie, donc ça ne fait aucun sens de dire qu'elle tend vers 0.
Même principe pour -3/2. Je serais donc tenté de conclure que la limite n'existe pas en ces points et que la fonction n'y est pas continue.

2). Toujours d'après le même ouvrage, la limite d'une fonction en un point a existe uniquement si les limites unilatérales (à gauche et à droite) sont égales.

Donc là on parle de limite, pas de continuité.

Je parle de limite, car la continuité se définit à partir de la notion de limite, comme je l'ai indiqué aux points 2) et 3).

Avec ces définitions, ta fonction n'est pas continue en 3/2, non. En général il me semble que la définition "standard" (par exemple sur Wikipedia) considère plutôt que c'est continu dans ce cas là.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(math%C3%A9matiques)#D%C3%A9finition

Au final ça ne change rien tant que ton bouquin reste cohérent, c'est juste une question de vocabulaire

et oublie les messages de Higgs, il raconte de la merde

Cette définition est trop restrictive pour le mot "continuité". A l'origine, les fonction réelles à valeurs réelles sont dites continues sur un intervalle si on peut tracer leur graphe de manière continue (sans créer de discontinuité en devant lever son crayon). Analytiquement, ça se traduit par le fait que la fonction est définie en chaque nombre a de l'intervalle, et que le nombre f(x) est d'autant plus proche du nombre f(a) que le nombre x se rapproche de a.
On peut ensuite montrer que cette condition est vraie si et seulement f(x) tend vers f(a), que x évolue dans un intervalle auquel a n'appartient pas mais qui admet a comme borne supérieure ou comme borne inférieure, pour peu qu'il existe au moins un tel intervalle bien sûr, et le "ou" tient compte du fait qu'il n'est pas important qu'il n'existe pas simultanément un intervalle admettant a comme borne inférieure et un autre comme borne supérieure.
En clair : ton ouvrage de référence devrait plutôt dire
"la limite d'une fonction en un point a où elle est définie existe et est finie uniquement si toutes ses limites unilatérales sont égales et finies."
Ca tient compte ainsi de la possibilité qu'il n'y ait pas de sens de parler de limite à gauche, ou de limite à droite, comme par exemple pour les nombres 3/2 et -3/2 de ton exemple, ce qui ne devrait pas empêcher f d'être continue en ces nombres, puisque dans les faits le nombre f(x) = sqrt(4x^2 - 9) est bien d'autant plus proche de ce que vaut la fonction en 3/2 et -3/2 que x se rapproche de 3/2 (nécessairement depuis la droite vers la gauche) ou de -3/2 (nécessairement depuis la gauche vers la droite).
Autrement dit, si tu veux tracer le graphe de ta fonction f(x) = sqrt(4x^2 - 9) sur son ensemble de définition, il n'y a aucune discontinuité géométrique en les abscisses 3/2 et -3/2, et on attend d'une définition analytique de la continuité qu'elle corresponde à cette observation.

Le 06 octobre 2021 à 23:21:39 :
et oublie les messages de Higgs, il raconte de la merde

Si gentiment dit

Normalement, avant de pouvoir parler de continuité, il faut un domaine de définition, et ensuite on considère des limites dans ce domaine