J'ai trouvé sur internet des exemples " intuitifs " des convergences presque sure et en probas mais je comprends toujours pas trop...

Convergence presque sure : on considère un animal et on mesure chaque jour la quantité de nourriture qu'il ingère à partir de sa naissance. On est surs qu'à partir dun certain moment (sa mort), cette quantité va tomber à 0 et le rester pour toujours. C'est la convergence presque sure.

Convergence en probas : on considère un tireur à l'arc qui s'entraine sur une cible sur laquelle il peut marquer de 0 (cible ratée) à 10 points. Au fil du temps et de ses entrainements, la probabilité que le tireur marque un nombre de points différent de 10 va devenir de plus en plus petite, la séquence Xn va donc converger vers X=10... cependant, le risque zéro n'existe pas et il est toujours possible que le tireur loupe parfois le centre de la cible. C'est la convergence en probabilités.

C'est quoi la difference du coup? En convergence presque sure on est justement surs que la série Xn va converger (mort de l'animal par exemple), et en probas il y a toujours une marge d'erreur négligeable (tireur qui ne marque pas 10 pts à chaque fois)?

Si vous avez d'autres exemples intuitifs (trouvés dans votre tete) de ces 2 convergences je veux bien svp...j'ai du mal avec les defs mathématiques pour le moment

Prenons X_n de la forme indicatrice de A_n. Si tu veux essayer de montrer que X_n tend en probabilité vers 0 tu dois simplement montrer que la suite P(A_n) tend vers 0, c'est à dire que les événements A_n sont de plus en plus rares. Si tu veux montrer que X_n converge p.s vers 0 tu te places en un point oméga et tu dois montrer qu'à partir d'un moment (qui dépend de oméga) les A_n ne se réalisent plus du tout. Intuitivement, cela veut dire que pour un observateur, converger en loi signifie qu'il verra de moins en moins les évènements A_n (mais on pourrait continuer à les voir un coup de tant en tant sur une grande échelle de temps) alors qu'avec la convergence p.s on est sûr de ne plus jamais pouvoir observer les A_n après un certain temps.

" Converger en loi " c'est pareil que " converger en probas " ?

OK . Je sais pas si je serais capable de montrer ça maintenant mais je commence à saisir l'idée (je pense ).

T'aurais d'autres exemples simples de situations pour lesquelles on aurait d'un coté la convergence en probas, et de l'autre la convergence ps ?

Et pourquoi dit on que la convergence ps implique la convergence en probas ?

La convergence en loi et en proba c'est pas tout à fait la même chose, la cv en proba est plus forte dans le sens où si tu converges en proba alors tu converges en loi. En gros ça fait : convergence ps => convergence en proba => convergence en loi. En gros ce sont trois degrés de convergence, un peu comme la convergence uniforme qui implique la convergence simple pour les séries de fonctions. Tu peux juste retenir que la convergence ps est plus dure à avoir que la convergence en loi, qu'elle est plus exigeante.

j'imagine que sureminence dans son premier message a voulu parler de convergence en proba, et pas en loi.

mais quoi qu'il en soit, il se trouve que dans le cas où les limites des variables aléatoires sont des constantes, ces deux notions de convergence coïncident.

Ok merci à vous 2

Mmh c'est peut-être moi, mais je suis pas convaincu de votre intuition de la convergence presque sûre

S'il y a vraiment une intuition derrière perso ça m'intéresse de la comprendre, mais de ce que vous dîtes j'ai l'impression que l'événement "appartenir à A_n" devient impossible à l'infini
Mais techniquement c'est faux, la bonne définition c'est "la probabilité d'appartenir à A_n" tend vers zéro

Or probabilité nulle, ça n'implique pas l'impossibilité (notamment, la probabilité de tirer un nombre réel selon une densité uniforme est toujours nulle, pourtant jamais impossible)

J'ai peut-être mal compris le message entre vos lignes après

Quand je dis "tirer un nombre réel" ça veut bien sûr dire "tirer un certain réel x fixé dans le support de la densité"

La probabilité tend vers 0 c'est juste une convergence en probabilité. La convergence ps demande plus que ça, elle demande que presque sûrement, les événements A_n ne se réalisent plus du tout. Ça ne veut pas dire, que pour tous les observateurs, les événements A_n ne se réaliseront plus mais plutôt que pour presque tous les observateurs les événements A_n ne se réaliseront plus.