Salut les kheys, après avoir essayé de résoudre l'exercice 21 ci-dessous, j'ai finalement trouvé un corrigé dont le cheminement logique m'est incompréhensible.

Est-ce qu'un assez bon pourrait m'expliquer la démarche du corrigé ? Ou bien une autre méthode, pourquoi pas ?

Alors je me doutais qu'il fallait construire la somme pour k allant de 1 à n des k qui vaut n(n+1)/2
afin de simolifier le n^2 mais le corrigé l'aborde d'une façon très compliqué pour moi.

Exercice

Corrigé

Merci d'avance

Stolz-Cesaro https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Stolz-Ces%C3%A0ro

n² = somme des 2k-1 pour k=1 à n
k uk / 2k-1 tend vers l/2
n² -> +inf

J'ai une solution mais elle utilise le théorème de convergence dominée
SpoilAfficherMasquerOn introduit la fonction sommatoire $U(x) = \sum_{k \le x} u_k$. Selon la formule sommatoire d'Abel, on a
$$ \sum_{k\le n} k u_k = nU(n) - \int_0^n U(s)ds $$ Réalisons ensuite le changement de variable $s=nx$, ce qui nous mène à
$$ \frac{1}{n^2}\sum_{k\le n} k u_k = \frac{U(n)}{n} - \int_0^1 \frac{U(nx)}{nx}xdx $$ Or le théorème de Cesàro assure que $\frac{U(s)}{s} \to \ell$ quand $s\to \infty$, donc par convergence dominée
$$ \frac{1}{n^2}\sum_{k\le n} k u_k \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell - \int_0^1 \ell x dx = \ell - \frac{\ell}{2} = \frac{\ell}{2} $$ Le théorème convergence dominée s'applique car $s\mapsto \frac{U(s)}{s}$ est bornée sur $(0,\infty)$. Elle est aussi mesurable puisque continue par morceaux...

Pour ton corrigé, c'est vrai que la démarche n'est pas très naturelle et relève presque de l'astuce.
Nous pouvons cependant faire l'observation suivante :
$$ \sum_{k = 1}^n k u_k = \sum_{1\le k\le n} \sum_{1 \le i \le k} u_k $$
En répétant les u_k, on peut avoir l'idée de définir la suite u'_k du corrigé, ainsi
$$ \sum_{k = 1}^n k u_k = \sum_{1 \le k \le n} \sum_{s_{k-1}< i\le s_{k}} u'_{i}$$ avec $s_k = 1 + \cdots + k$. Puisque $[\![1,s_{n}]\!]$ est la réunion disjointe des $]\!]s_{k-1}, s_{k}]\!]$ pour $k=1,\ldots,n$ on a
$$ \sum_{k = 1}^n k u_k = \sum_{1 \le k \le s_n} u'_k $$ Enfin on remarque que $u'_k \to \ell$ donc par Cesàro
$$ \frac{1}{s_n} \sum_{k = 1}^n k u_k \to \ell$$ et puisque $s_n \sim \frac{n^2}{2}$ le résultat suit.

Sauf erreur

C'est un polycopié de M. Lafforgue ça non?

Je préfère le démontrer de la façon suivante.

On utilise le résultat suivant (qui généralise Césaro et se démontre de la même manière)
Hypothèses
1) a_n converge vers une limite L
2) b_n est une suite de nombres strictement positifs telle que la série b_n diverge
Conclusion
Alors le terme S_n = somme(a_k*b_k , 1 <= k <= n) / somme(b_k , 1 <= k <= n) converge vers L

En appliquant ce résultat à a_n = u_n et b_n = n, on obtient somme(k*u_k , 1 <= k <= n) / somme(k, 1 <= k <= n) converge vers L.
Ne reste plus qu'à écrire somme(k, 1 <= k <= n) = n(n+1)/2

Le 07 juillet 2021 à 20:23:01 :
C'est un polycopié de M. Lafforgue ça non?

D'ailleurs je me suis toujours demandé si ses polycopiés était du latex ou du word.

Le 07 juillet 2021 à 15:16:37 :
Salut les kheys, après avoir essayé de résoudre l'exercice 21 ci-dessous, j'ai finalement trouvé un corrigé dont le cheminement logique m'est incompréhensible.

Est-ce qu'un assez bon pourrait m'expliquer la démarche du corrigé ? Ou bien une autre méthode, pourquoi pas ?

Alors je me doutais qu'il fallait construire la somme pour k allant de 1 à n des k qui vaut n(n+1)/2
afin de simolifier le n^2 mais le corrigé l'aborde d'une façon très compliqué pour moi.

Exercice

Corrigé

Merci d'avance

Trivial

euh
tu prends un N_0 suffisamment grand tq |U_k-l|< 2*eps pour tout k>=N_0

et tu as par un encadrement trivial (l/2-eps)*(n+1)/n + o(n) < (1/n²)sum k*U_k < (l/2+eps)*(n+1)/n +o(n)
avec o un terme qui découle du restant de la somme entre 1 et N_0, et qui tend vers 0 en +infty

en prenant la limite tu obtiens la convergence + la limite l0 qui est entre l/2 - eps et l/2 + eps pour eps arbitraire, donc egale à l/2