Salut les gars je bloque sur une question.

Voici l'énoncé :

1) J'ai réussi

2)a/ Réussi
b/ Réussi

3)a/ Réussi en utilisant le thm du rang (dim de Im(phi)=3)
b/ je bloque

4) je bloque également

Merci d'avance

Où est ce que tu bloques ?

Salut,
tu es sûr d'avoir bien trouvé le noyau de phi ?
Parce qu'il y a au moins les matrices I et A dans le noyau et elles forment une famille libre, donc le noyau est au moins de dimension 2, donc l'image est au plus de dimension 2.
Pour la question 4, l'ensemble C_A a déjà été étudié dans ton exercice, reviens à la définition : M commute avec A ssi AM = MA ssi ...

J'ai trouvé un seul vecteur pour Ker(phi). Je me suis sûrement trompé dans mon pivot alors

Bonjour,

Le mieux, selon moi, est de déterminer Mat b (phi) qui est la matrice de l'application considérée dans le base canonique de l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans R.
Une fois celle-ci obtenue, pour trouver le noyau tu fais : Soit M une matrice appartenant à Ker(phi) ce qui équivaut à Mat b (phi) * (a,b,c,d) = (0, 0, 0, 0,), puis tu résous le système linéaire associée et tu trouves le Ker. Puis pour trouver Im(phi) tu utilises juste le fait que Im(phi) = Vect((Φ(E11),Φ(E12),Φ(E21),Φ(E22))

Le 22 mars 2021 à 10:12:48 Info_maths a écrit :
Bonjour,

Le mieux, selon moi, est de déterminer Mat b (phi) qui est la matrice de l'application considérée dans le base canonique de l'ensemble des matrices carrées à coefficients dans R.
Une fois celle-ci obtenue, pour trouver le noyau tu fais : Soit M une matrice appartenant à Ker(phi) ce qui équivaut à Mat b (phi) * (a,b,c,d) = (0, 0, 0, 0,), puis tu résous le système linéaire associée et tu trouves le Ker. Puis pour trouver Im(phi) tu utilises juste le fait que Im(phi) = Vect((Φ(E11),Φ(E12),Φ(E21),Φ(E22))

Je viens de le faire (a,b,c,d) c'est une matrice colonne ? J'ai trouvé a= r-4t ; b= -3t ; c= t ; d= r (avec r et t dans R, j'ai fait un paramétrage). mais j'en fais quoi après ?

Envoie une photo de ta résolution stp.

Quand t'as fait le paramétrage, t'as plus qu'à exprimer tes solutions sous formes de Vect et c'est terminé (du genre a(1,0,-2,0), b(....),...) = Vect(...)

Ok merci Info maths, je comprends mieux .
Je vous envoie ce que j'ai fait en premier, si quelqu'un pouvait pe dire mon erreur du coup .

Je te conseille de regarder l'exercice 9 de : https://ptsi-deodat.heb3.org/documents/travaux_diriges/matrices_applications_lineaires_TD25.pdf
Ca m'a l'air assez proche de ce que tu veux faire et la méthode y est détaillée rigoureusement. Toutes tes questions devraient trouvées ainsi réponses.

Donc j'ai trouvé Mat b (phi) =
( 0 -1 -3 +0)
( 3 +2 +0 -3)
( 1 +0 -2 -1)
( 0 +1 +3 0)

En faisant le produit de Mat b (phi) par le vecteur colonne (a,b,c,d) et en résolvant le système linéaire associé comme tu l'as fait j'ai trouvé : a=d-(2/3)b et c=(-1/3)b avec (b,d) appartient à R^2

Ainsi on peut écrire la matrice M = (a,b,c,d) qui appartient au Ker(phi) :
(d-2/3b b)
(-1/3b d)

Donc Ker(phi) = {e1(d-2/3)b + be2 - 1/3be3 + de4} = {Vect(e1+e4, -2/3e1 + e2 -1/3e3)} et dim(ker(phi)) = 2

J'ai remarqué que tu as fait une erreur à ton premier signe équivalent : tu as oublié, en recopiant, un - γ. C'est normal que les équivalences suivantes sont fausses alors.

Ah oui effectivement, merci infiniment !