Salut,

Si Y est une application linéaire telle que :
Y : E -> F
     X -> Y(X)

Si on prend E l'ensemble de départ les polynômes R[X]n (de cardinal n+1).
Si F est l'ensemble R[X]n-1 (de cardinal n), est ce que Y est quand même un endomorphisme vu que E contient F ? Ou est ce que E doit être strictement égal à F ?

(Attention cardinal =/= dimension.)

Dans la mesure où les valeurs prises par Y appartiennent à son ensemble de définition, c'est un endomorphisme.

Le 07 mars 2021 à 16:46:58 Flygskam a écrit :
(Attention cardinal =/= dimension.)

Ah oui, mon erreur

Dans la mesure où les valeurs prises par Y appartiennent à son ensemble de définition, c'est un endomorphisme.

Donc tant que Y(X) appartient bien à E c'est bon ?

Il y a sûrement des ouvrages du genre branlette bourbakiste où on impose que les endomorphismes doivent avoir pour ensemble d'arrivée exactement leur ensemble de définition mais en fait ça n'a pas d'intérêt, l'essence d'une fonction résidant dans son ensemble de valeurs.

En gros oui c'est bon.

Le 07 mars 2021 à 17:50:04 Flygskam a écrit :
Il y a sûrement des ouvrages du genre branlette bourbakiste où on impose que les endomorphismes doivent avoir pour ensemble d'arrivée exactement leur ensemble de définition mais en fait ça n'a pas d'intérêt, l'essence d'une fonction résidant dans son ensemble de valeurs.

En gros oui c'est bon.

Ok, merci

Soyons plus précis tout de même...
La notion d'endomorphisme, comme l'indique le préfixe endo, impose que le domaine de définition et le domaine d'arrivée (domaine et codomaine dans une autre terminologie) soient identiques.

C'est ce qu'on retrouve dans tous les bouquins standards et c'est bien normal ... Sinon il s'agit simplement d'un morphisme. Et la distinction fait sens et a son importance.

L'énoncé que tu donnes pourrait se traduire par "soit u un endo de E. De plus, on observe que u est à valeurs dans F le sous-espace de E..."

Et cette distinction a son importance. Preuve en est, lorsqu'on définit les projecteurs, on sait bien qu'ils sont à valeurs dans un sous-espace précis (qui se trouve même être l'image exacte dans ce cas) mais on les définit quand même avec pour codomaine E pour qu'ils soient des endos.

Sinon on ne pourrait pas par exemple faire la composition de deux projecteurs ou de deux endos (à moins d'avoir recourt à des injections partout ou peut-être la notion de fonction partielle mais ça complique inutilement la chose).

En quelque sorte le fait d'avoir un codomaine unique fixé à l'avance garantit une forme de stabilité de notre structure pour pouvoir additionner, composer etc.

Donc ici tu peux dire "soit Y l'application de E dans E qui...Y est une application linéaire entre e.v. donc un endo....on voit que Y est à valeurs dans F....."

Évidemment là j'ai détaillé et en pratique on ne le fait pas autant mais la distinction entre codomaine et "à valeurs dans machin plus précisément" est faite. Et ce n'est à mon sens pas que du formalisme.

Sinon on ne pourrait pas par exemple faire la composition de deux projecteurs ou de deux endos (à moins d'avoir recourt à des injections partout ou peut-être la notion de fonction partielle mais ça complique inutilement la chose).

Bah si : pour que la composition de deux fonctions soit définie, il suffit que l'ensemble des valeurs de l'une soit inclus dans l'ensemble de définition de l'autre, ce qui est trivialement le cas pour des morphismes d'un espace vectoriel E dans des sous-espaces vectoriels quelconques de E. Idem pour la stabilité par addition, les sommes de sous-espaces vectoriels sont bien définies. Tu surestimes clairement la notion d'ensemble d'arrivée d'une application, c'est son ensemble de valeurs qui compte vraiment.

Le préfixe "endo" a été choisi pour désigner des morphismes à valeurs dans leur ensemble de départ peu importe quel "ensemble d'arrivée" on leur affuble, pas la peine d'aller chercher plus loin le reste n'est que de la branlette formaliste.

Je ne suis pas d'accord avec ton point de vue mais je le respecte.

Les différences entre nos deux points de vue sont mineures et n'ont pas vraiment de conséquence en pratique pour ceux qui savent ce qu'ils font.

Je voulais néanmoins apporter un autre son de cloche sur ce topic qui, à mon sens, a son intérêt. C'est, je pense, chose faite.

Un exemple pour voir l'importance du codomaine : on a deux endomorphismes f,g : ℝ² ⟶ ℝ² définis par f(x,y) = (x,0) et g(x,y) = (0,x). Donc f est la projection sur la première composante, et g est la projection suivie d'une rotation.

Ce sont (évidemment) deux endomorphismes bien distincts, par exemple f∘f = f, mais g∘g = 0.
Dans les deux cas, leur image est isomorphe à ℝ. Mais si on les regarde seulement comme des applications de ℝ² dans ℝ, on perd cette distinction, puisqu'on se retrouve dans les deux cas avec l'application h(x,y) = x.

La raison, c'est qu'à partir d'un morphisme de ℝ² dans ℝ, pour obtenir un endomorphisme de ℝ² dans ℝ², il faut post-composer par une injection ι : ℝ ⟶ ℝ². Mais il y a plusieurs telles injections possibles. En gardant ℝ² comme codomaine, on évite « d'oublier » quelle injection on a utilisé.

Merci pour vos explications complémentaires !

Le 07 mars 2021 à 21:58:19 Erismature a écrit :
Un exemple pour voir l'importance du codomaine : on a deux endomorphismes f,g : ℝ² ⟶ ℝ² définis par f(x,y) = (x,0) et g(x,y) = (0,x). Donc f est la projection sur la première composante, et g est la projection suivie d'une rotation.

Ce sont (évidemment) deux endomorphismes bien distincts, par exemple f∘f = f, mais g∘g = 0.
Dans les deux cas, leur image est isomorphe à ℝ. Mais si on les regarde seulement comme des applications de ℝ² dans ℝ, on perd cette distinction, puisqu'on se retrouve dans les deux cas avec l'application h(x,y) = x.

La raison, c'est qu'à partir d'un morphisme de ℝ² dans ℝ, pour obtenir un endomorphisme de ℝ² dans ℝ², il faut post-composer par une injection ι : ℝ ⟶ ℝ². Mais il y a plusieurs telles injections possibles. En gardant ℝ² comme codomaine, on évite « d'oublier » quelle injection on a utilisé.

Je pense qu'ici le point de vue qui fait abstraction du codomaine répondrait plutôt que la "bonne" façon de voir f et g est de les voir comme applications de R^2 dans R x {0} et {0} x R respectivement et à ce moment le problème saute.

Quelque part, la vraie fonction f est f(x,y)=(x,0) et elle prend ses valeurs dans R x {0} et pas R^2.

Je comprends ce point de vue mais je ne le partage pas car il introduit à mon sens des imprécisions du point de vue formel qui sont sans danger "pour celui qui sait ce qu'il fait" mais qui sont à mon avis gênantes pour le débutant et qui compliquent la formalisation.

L'autre solution du point de vue formel étant de travailler avec des applications partielles et/ou des injections etc. mais à mon avis on ne gagne pas vraiment en économie par rapport à l'utilisation du codomaine.

Je pense qu'ici le point de vue qui fait abstraction du codomaine répondrait plutôt que la "bonne" façon de voir f et g est de les voir comme applications de R^2 dans R x {0} et {0} x R respectivement et à ce moment le problème saute.

Oui, auquel cas c'est moi qui pourrais (avec un peu de mauvaise foi) rétorquer que « faire la distinction entre ℝ et ℝ×{0}, c'est vraiment de la branlette de bourbakiste formaliste à la noix, ces deux espaces vectoriels sont isomorphes donc comme tout bon mathématicien, je les considère comme égaux ».

Bref dans tous les cas le choix d'un formalisme en particulier peut avoir des avantages et des inconvénients, et de toute façon en pratique on va en général cacher les détails sous le tapis puisque « on se comprend » (et c'est une bonne chose).

Le truc c'est qu'en se permettant de confondre par exemple R et R x {0}, rien n'empêche non plus de confondre une application
f : E -> F avec la composition i o f : E -> K pour tout ensemble K tel qu'il existe une injection i de f(E) dans K (notamment les ensembles K contenant f(E) avec i = fonction inclusion), ou alors de confondre f avec sa classe modulo la relation d'équivalence définie par f ~ g <=> f et g ont le même ensemble de définition et f(x) = g(x) pour tout x dans cet ensemble,
dans tous les cas on retrouve qu'en fait le codomaine n'a pas vraiment d'importance, seuls l'ensemble de définition et les valeurs.