Bonsoir, je cherchais sur Internet un truc random à faire ce soir, je suis tombé sur ce truc:
On a la suite : (a_i) pour i dans N qui vérifie la propriété: a_(m+n) + a_(m-n) = 1/2(a_(2m) + a_(2n)) (a_k correspond à "a indice k" ici), pour tous m,n dans N avec m >= n.
On sait que a_1 = 1 et on veut déterminer a_1995.

Alors d'abord je me suis dit que j'allais, sur un brouillon, poser le calcul de quelques termes de la suite pour essayer de me faire une intuition de la suite.
J'ai remarqué qu'en posant m fixé dans N et n = 0, on trouve que :
2a_m = 1/2a_(2m)
=> a_(2m) = 4a_m, pour tout m dans N.

En posant ce résultat on peut facilement réduire des expressions et calculer directement certains termes de la suite (a_i).

Maintenant, je sais que 1995 = 998+997, on a alors avec la propriété de la suite (a_i) :
a_(998+997) + a_1 = 1/2(a_(2*998) + a_(2*997))
=> a_1995 = 2(a_998 + a_997) (en utilisant le résultat que j'ai trouvé plus haut).

Du coup maintenant je peux réduire l'expression de a_998 pour essayer de le calculer et pareil pour a_997 etc... mais ça me ramène à de gros calculs.
Donc j'aimerais savoir si il y a une autre méthode plus directe et que je fais ça comme un clochard ou si c'est juste le truc qui est très calculatoire ?

Salut,
Avant de montrer que a_(2n) = 4a_n, il faut déjà montrer proprement que a_0 = 0.
Ensuite, de la même manière que pour trouver cette formule, choisis un m astucieux pour déduire quelque chose sur a_(2n+1).
C'est le même raisonnement que tu as appliqué pour trouver une autre expression de a_1995.
Par contre attention, tu as oublié le +1 dans ton a_1995 + 1 = 2(a_998 + a_997).

Ces deux formules te permettront de calculer n'importe quels termes de la suite de manière récursive, ce qui n'est donc pas très adapté sans machine vu qu'on veut a_1995.
Cependant, en calculant à la main les premiers termes, tu devrais te rendre compte de quelque chose de remarquable.
Ce résultat remarquable sera à démontrer par récurrence forte : on supposera le résultat vrai jusqu'à un certain rang 2n+1 impair, et on tâchera de le montrer pour les deux rangs suivants : 2n+2 et 2n+3.

Bon courage et merci d'avoir fourni l'exercice, ça fait travailler un peu le cerveau en cette période de vacances