Bonsoir, j'ai du mal à comprendre cet exercice ... quelqu'un pourrait m'aider svp ? Merci

On peut repérer un point de R³ de plusieurs façons.

En coordonnées cartésiennes: M = (x,y,z), classique!

En coordonnées cylindriques: c'est vraiment bête, on place M sur un cylindre...
Le dessin aide à retrouver les formules http://sketchtoy.com/69485393
Les coordonnées cylindriques de M sont alors (R, θ, z) et on a M = (R cos θ, R sin θ, z).

En coordonnées sphériques: cette fois on repère M sur une sphère! (pardon pour mes dessins très très approximatifs) http://sketchtoy.com/69485404 -- les coordonnées sphériques de M sont (R, θ, φ) puis M = (R cos φ cos θ, R cos φ sin θ, R sin φ).

En vue de réaliser un changement de variable, il nous faut restreindre les paramètres afin de rendre le changement de coordonnées bijectif (même un peu plus). Nous pourrons par exemple imposer en cylindrique R>0, 0 < θ < 2π, et en sphérique R>0, 0 < θ < 2π et -π/2 < φ < π/2. Bien entendu d'autres choix d'intervalles sont possibles pour les angles.

Ah yes, mais on perd une bonne partie des points non?

Oui... mais pas tant que ça du point de vue de la mesure de Lebesgue.
La portion d'espace que l'on coupe est un demi-plan, donc sa mesure de Lebesgue est nulle. Lebesgue oublie ces points, il les néglige, les cache sous le tapis. Leur contribution dans une intégrale est nulle.

Je t'invite grandement à refaire retrouver les dessins.

Petit exercice: saurais-tu généraliser les coordonnées sphériques en dimension supérieure?
Si tu trouves, essaye de calculer le volume de la boule unité euclidienne de R^n... puis trace à l'ordinateur la courbe qui donne le volume en fonction de la dimension. Qu'observes-tu?

Je regarderai ça demain, merci pour la réponse